Для решения задачи можно использовать закон сохранения энергии. Энергия, накопленная в пружине при её сжатии, преобразуется в кинетическую энергию шара, который выстреливается из пистолета.
- Рассчитаем потенциальную энергию, накопленную в пружине:
[
E_p = \frac{1}{2} k x^2,
]
где ( k ) — жесткость пружины (15 H/m), ( x ) — удлинение пружины (1 см = 0.01 м).
[
E_p = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot (0.01)^2 = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 0.0001 = 0.000075 , \text{Дж}.
]
- Теперь определим кинетическую энергию, которая будет равна потенциальной энергии пружины в момент выстрела:
[
E_k = \frac{1}{2} m v^2,
]
где ( m ) — масса шара (3 г = 0.003 кг), ( v ) — скорость шара.
- Мы можем установить равенство между потенциальной энергией пружины и кинетической энергией шара:
[
\frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} m v^2.
]
- Найдём скорость шара, используя закон сохранения энергии:
[
k x^2 = m v^2.
]
Таким образом:
[
v^2 = \frac{k x^2}{m} = \frac{15 \cdot (0.01)^2}{0.003} = \frac{15 \cdot 0.0001}{0.003} = \frac{0.0015}{0.003} = 0.5.
]
Отсюда:
[
v = \sqrt{0.5} \approx 0.707 , \text{м/c}.
]
- Теперь мы можем найти высоту, на которую поднимется шарик, используя уравнение для потенциальной энергии:
[
E_p = m g h,
]
где ( g ) — ускорение свободного падения (приблизительно 9.81 м/с²), ( h ) — высота.
Поэтому:
[
m g h = \frac{1}{2} k x^2.
]
Отсюда:
[
h = \frac{E_p}{m g} = \frac{0.000075}{0.003 \cdot 9.81} \approx \frac{0.000075}{0.02943} \approx 0.00255 , \text{м} \approx 2.55 , \text{см}.
]
Таким образом, шарик будет выброшен на высоту примерно 2.55 см.
