Для решения задачи о случайной величине (X), которая обозначает количество стандартных деталей среди извлечённых, мы можем определить распределение вероятностей для этой величины.
В нашем случае у нас есть 6 деталей, из которых 4 стандартные и 2 нестандартные. Мы будем извлекать 3 детали, и нам нужно определить, какое количество из них стандартные.
Случайная величина (X) может принимать значения (0), (1), (2) или (3), в зависимости от того, сколько стандартных деталей мы извлечём.
1. Находим вероятности:
Вероятность (P(X = k)) — это вероятность того, что среди 3 выбранных деталей окажется ровно (k) стандартных.
Мы можем использовать комбинаторные рассуждения для нахождения таких вероятностей.
- Для (X = 0) (все детали нестандартные):
[
P(X = 0) = \frac{\binom{4}{0} \cdot \binom{2}{3}}{\binom{6}{3}} = \frac{1 \cdot 0}{20} = 0
]
[
P(X = 1) = \frac{\binom{4}{1} \cdot \binom{2}{2}}{\binom{6}{3}} = \frac{4 \cdot 1}{20} = \frac{4}{20} = 0.2
]
[
P(X = 2) = \frac{\binom{4}{2} \cdot \binom{2}{1}}{\binom{6}{3}} = \frac{6 \cdot 2}{20} = \frac{12}{20} = 0.6
]
- Для (X = 3) (все детали стандартные):
[
P(X = 3) = \frac{\binom{4}{3} \cdot \binom{2}{0}}{\binom{6}{3}} = \frac{4 \cdot 1}{20} = \frac{4}{20} = 0.2
]
2. Записываем распределение вероятностей:
Теперь запишем распределение вероятностей (X):
[
\begin{align*}
P(X = 0) &= 0, \
P(X = 1) &= 0.2, \
P(X = 2) &= 0.6, \
P(X = 3) &= 0.2.
\end{align*}
]
3. Проверка:
Заметим, что сумма всех вероятностей равна 1:
[
0 + 0.2 + 0.6 + 0.2 = 1.
]
Таким образом, вероятность извлечения определённого количества стандартных деталей корректно определена.
Вывод:
Случайная величина (X) имеет следующие вероятности:
- (P(X = 0) = 0)
- (P(X = 1) = 0.2)
- (P(X = 2) = 0.6)
- (P(X = 3) = 0.2)
Это означает, что наиболее вероятно извлечение 2 стандартных деталей среди трёх.
