Задача: В ящике находится 6 деталей, из которых 4 являются стандартными. Из ящика извлекают три детали. Требуется найти математическую дискретную случайную величину x, которая…

Для решения задачи о случайной величине \(X\), которая обозначает количество стандартных деталей среди извлечённых, мы можем определить распределение вероятностей для этой величины.

В нашем случае у нас есть 6 деталей, из которых 4 стандартные и 2 нестандартные. Мы будем извлекать 3 детали, и нам нужно определить, какое количество из них стандартные.

Случайная величина \(X\) может принимать значения \(0\), \(1\), \(2\) или \(3\), в зависимости от того, сколько стандартных деталей мы извлечём.

1. Находим вероятности:

Вероятность \(P(X = k)\) — это вероятность того, что среди 3 выбранных деталей окажется ровно \(k\) стандартных.

Мы можем использовать комбинаторные рассуждения для нахождения таких вероятностей.

• Для \(X = 0\) (все детали нестандартные):

\[ P(X = 0) = \frac{\binom{4}{0} \cdot \binom{2}{3}}{\binom{6}{3}} = \frac{1 \cdot 0}{20} = 0 \]

• Для \(X = 1\):

\[ P(X = 1) = \frac{\binom{4}{1} \cdot \binom{2}{2}}{\binom{6}{3}} = \frac{4 \cdot 1}{20} = \frac{4}{20} = 0.2 \]

• Для \(X = 2\):

\[ P(X = 2) = \frac{\binom{4}{2} \cdot \binom{2}{1}}{\binom{6}{3}} = \frac{6 \cdot 2}{20} = \frac{12}{20} = 0.6 \]

• Для \(X = 3\) (все детали стандартные):

\[ P(X = 3) = \frac{\binom{4}{3} \cdot \binom{2}{0}}{\binom{6}{3}} = \frac{4 \cdot 1}{20} = \frac{4}{20} = 0.2 \]

2. Записываем распределение вероятностей:

Теперь запишем распределение вероятностей \(X\):

\[ \begin{align*} P(X = 0) &= 0, \\ P(X = 1) &= 0.2, \\ P(X = 2) &= 0.6, \\ P(X = 3) &= 0.2. \end{align*} \]

3. Проверка:

Заметим, что сумма всех вероятностей равна 1:

\[ 0 + 0.2 + 0.6 + 0.2 = 1. \]

Таким образом, вероятность извлечения определённого количества стандартных деталей корректно определена.

Вывод:

Случайная величина \(X\) имеет следующие вероятности:

• \(P(X = 0) = 0\)
• \(P(X = 1) = 0.2\)
• \(P(X = 2) = 0.6\)
• \(P(X = 3) = 0.2\)

Это означает, что наиболее вероятно извлечение 2 стандартных деталей среди трёх.