2.230. Решите уравнение двумя способами б) (x²-4)² - 2(x² - 4) – 15 = 0.

Для решения уравнения \((x^2 - 4)^2 - 2(x^2 - 4) - 15 = 0\) целесообразно воспользоваться заменой переменной. Обозначим \(y = x^2 - 4\). Тогда уравнение преобразуется в: \[ y^2 - 2y - 15 = 0 \] Теперь решим его через дискриминант. Дискриминант \(D\) равен: \[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 \] Теперь находим корни уравнения по формуле: \[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm 8}{2} \] Таким образом, получаем: \[ y_1 = \frac{10}{2} = 5, \quad y_2 = \frac{-6}{2} = -3 \] Теперь вернемся к нашей замене \(y = x^2 - 4\): 1. Для \(y_1 = 5\): \[ x^2 - 4 = 5 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 9 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 3 \] 2. Для \(y_2 = -3\): \[ x^2 - 4 = -3 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 1 \] Таким образом, все решения уравнения: \[ x = 3, \quad x = -3, \quad x = 1, \quad x = -1 \] --- ### Второй способ: Также можно решить уравнение, раскрыв скобки. Исходное уравнение: \[ (x^2 - 4)^2 - 2(x^2 - 4) - 15 = 0 \] Раскроем скобки: \[ (x^2 - 4)(x^2 - 4) - 2(x^2 - 4) - 15 = 0 \] \[ x^4 - 8x^2 + 16 - 2x^2 + 8 - 15 = 0 \] Соберем подобные: \[ x^4 - 10x^2 + 9 = 0 \] Теперь снова сделаем замену: \(z = x^2\), тогда уравнение становится: \[ z^2 - 10z + 9 = 0 \] Находим дискриминант: \[ D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 - 36 = 64 \] Опять вычислим корни: \[ z_{1,2} = \frac{10 \pm 8}{2} \] Таким образом: \[ z_1 = 9, \quad z_2 = 1 \] Теперь возвращаемся к \(x^2\): 1. Для \(z_1 = 9\): \[ x^2 = 9 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 3 \] 2. Для \(z_2 = 1\): \[ x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 1 \] Итак, в обоих подходах мы пришли к одним и тем же решениям: \[ x = 3, \quad x = -3, \quad x = 1, \quad x = -1 \]