2.230. Решите уравнение двумя способами б) (x²-4)² - 2(x² - 4) – 15 = 0.
Для решения уравнения \((x^2 - 4)^2 - 2(x^2 - 4) - 15 = 0\) целесообразно воспользоваться заменой переменной.
Обозначим \(y = x^2 - 4\). Тогда уравнение преобразуется в:
\[ y^2 - 2y - 15 = 0 \]
Теперь решим его через дискриминант. Дискриминант \(D\) равен:
\[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 \]
Теперь находим корни уравнения по формуле:
\[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm 8}{2} \]
Таким образом, получаем:
\[ y_1 = \frac{10}{2} = 5, \quad y_2 = \frac{-6}{2} = -3 \]
Теперь вернемся к нашей замене \(y = x^2 - 4\):
- Для \(y_1 = 5\):
\[ x^2 - 4 = 5 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 9 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 3 \]
- Для \(y_2 = -3\):
\[ x^2 - 4 = -3 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 1 \]
Таким образом, все решения уравнения:
\[ x = 3, \quad x = -3, \quad x = 1, \quad x = -1 \]
Второй способ:
Также можно решить уравнение, раскрыв скобки.
Исходное уравнение:
\[ (x^2 - 4)^2 - 2(x^2 - 4) - 15 = 0 \]
Раскроем скобки:
\[ (x^2 - 4)(x^2 - 4) - 2(x^2 - 4) - 15 = 0 \]
\[ x^4 - 8x^2 + 16 - 2x^2 + 8 - 15 = 0 \]
Соберем подобные:
\[ x^4 - 10x^2 + 9 = 0 \]
Теперь снова сделаем замену: \(z = x^2\), тогда уравнение становится:
\[ z^2 - 10z + 9 = 0 \]
Находим дискриминант:
\[ D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 - 36 = 64 \]
Опять вычислим корни:
\[ z_{1,2} = \frac{10 \pm 8}{2} \]
Таким образом:
\[ z_1 = 9, \quad z_2 = 1 \]
Теперь возвращаемся к \(x^2\):
- Для \(z_1 = 9\):
\[ x^2 = 9 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 3 \]
- Для \(z_2 = 1\):
\[ x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 1 \]
Итак, в обоих подходах мы пришли к одним и тем же решениям:
\[ x = 3, \quad x = -3, \quad x = 1, \quad x = -1 \]
