Построй график функции y = ( x 2 − 9 ) ( x + 2 ) − x − 2 y= −x−2 (x 2 −9)(x+2) и определи, при каком значении k k прямая y = k x y=kx имеет с графиком функции ровно одну общую…
Построй график функции y = ( x 2 − 9 ) ( x + 2 ) − x − 2 y= −x−2 (x 2 −9)(x+2) и определи, при каком значении k k прямая y = k x y=kx имеет с графиком функции ровно одну общую точку.
Для построения графика функции \( y = (x^2 - 9)(x + 2) - x - 2 \) и нахождения значения \( k \), при котором прямая \( y = kx \) пересекает график функции ровно в одной точке, сначала упростим функцию.
Упростим функцию: \[ y = (x^2 - 9)(x + 2) - x - 2 = (x^2 - 9)(x + 2) - (x + 2) \] Факторизуем: \[ y = (x + 2)((x^2 - 9) - 1) \] Упрощаем \( x^2 - 9 - 1 \): \[ y = (x + 2)(x^2 - 10) \]
Теперь найдем общий вид уравнения с прямой: \[ (x + 2)(x^2 - 10) - kx = 0 \]
Раскроем скобки: \[ x^3 - 10x + 2x^2 - 20 - kx = 0 \] Соберем все термины: \[ x^3 + 2x^2 - (10 + k)x - 20 = 0 \]
Чтобы прямая имела ровно одну общую точку с графиком функции, необходимо, чтобы кубическое уравнение имело ровно один корень. Это произойдет, если дискриминант производной функции будет равен нулю.
Найдем производную: \[ f(x) = x^3 + 2x^2 - (10 + k)x - 20 \] \[ f'(x) = 3x^2 + 4x - (10 + k) \]
Установим дискриминант равным нулю: \[ D' = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-(10 + k)) = 16 + 12(10 + k) \] Упрощаем: \[ D' = 16 + 120 + 12k = 136 + 12k \] Установим \( D' = 0 \): \[ 136 + 12k = 0 \] Отсюда получаем: \[ 12k = -136 \quad \Rightarrow \quad k = -\frac{136}{12} = -\frac{34}{3} \approx -11.33 \]
Таким образом, прямая \( y = kx \) будет иметь с графиком функции ровно одну общую точку при \( k = -\frac{34}{3} \).
