1. Брусок массой m соскальзывает по наклонной плоскости и состояния покоя. Как изменятся его ускорение и сила трения при увеличении массы бруска в 2 раза? Для каждой величины…
1. Брусок массой m соскальзывает по наклонной плоскости и состояния покоя. Как изменятся его ускорение и сила трения при увеличении массы бруска в 2 раза? Для каждой величины определите соответствующий характер изменения и запишите его номер. 1) увеличится 2) уменьшится 3) не изменится 2. По наклонной плоскости длиной 30 см и высотой 18 см из состояния покоя движется тело. Коэффициент трения между телом и плоскостью составляет 0,731. Определите время движения тела. 3. Радиус некоторой планеты в 4 раза меньше радиуса Земли, а масса - в 80 раз меньше массы Земли. Определите ускорение свободного падения на этой планете. 4. Детское ведёрко с водой вращают с постоянной скоростью в вертикальной плоскости на верёвке длиной 40 см. Определите минимальную скорость, при которой вода из ведёрка не выливается.
- Рассмотрим первое уравнение. Ускорение \( a \) бруска на наклонной плоскости зависит от силы тяжести, силы нормальной реакции и силы трения. При увеличении массы бруска в 2 раза, сила тяжести увеличится в 2 раза, однако сила трения (которая равна \( f_t = \mu N \), где \( N \) – нормальная сила) также увеличивается, так как нормальная сила \( N \) пропорциональна массе. Ускорение в результате увеличивается, а сила трения также пропорционально увеличивается:
Ускорение: 1) увеличится. Сила трения: 1) увеличится.
- Для расчета времени движения тела по наклонной плоскости нужно учитывать начальную скорость (равную нулю), длину наклонной плоскости \( d = 30 \) см и высоту \( h = 18 \) см.
Сначала найдем угол наклона \( \theta \):
\[ \sin(\theta) = \frac{h}{d} = \frac{18 \, \text{см}}{30 \, \text{см}} = 0.6 \quad \Rightarrow \theta \approx \arcsin(0.6) \approx 36.87° \]
Сила тяжести вдоль плоскости будет равна \( mg \sin(\theta) \), а сила трения \( f_t = \mu mg \cos(\theta) \):
\[ \cos(\theta) = \sqrt{1 - \sin^2(\theta)} \approx \sqrt{1 - 0.36} \approx 0.8 \]
Обозначив ускорение как \( a \):
\[ ma = mg \sin(\theta) - f_t = mg \sin(\theta) - \mu mg \cos(\theta) \] \[ a = g \sin(\theta) - \mu g \cos(\theta) = g (\sin(\theta) - \mu \cos(\theta)) \]
Подставим значения:
\( g \approx 9.81 \, \text{м/с}^2 \)
\[ a = 9.81 \, \text{м/с}^2 (0.6 - 0.731 \cdot 0.8) = 9.81 \, \text{м/с}^2 (0.6 - 0.5848) = 9.81 \, \text{м/с}^2 \cdot 0.0152 \approx 0.149 \, \text{м/с}^2 \]
Теперь используем уравнение движения с постоянным ускорением:
\[ s = ut + \frac{1}{2} a t^2 \Rightarrow 0.3 = 0 + \frac{1}{2} (0.149) t^2 \]
Решим для \( t \):
\[ 0.3 = \frac{1}{2} \cdot 0.149 \cdot t^2 \Rightarrow t^2 = \frac{0.3 \cdot 2}{0.149} \Rightarrow t^\approx \sqrt{4.03} \approx 2.01 \, \text{с} \]
Таким образом, время движения тела составляет примерно 2.01 секунды.
- Ускорение свободного падения \( g' \) на другой планете вычисляется по формуле:
\[ g' = \frac{GM'}{R'^2} \]
Где \( G \) - гравитационная постоянная. Если радиус планеты в 4 раза меньше, а масса в 80 раз меньше, то:
\[ g' = \frac{G (80M_{\text{Земля}})}{( \frac{R_{\text{Земля}}}{4})^2} = \frac{G \cdot 80M_{\text{Земля}}}{\frac{R_{\text{Земля}}^2}{16}} = 80 \cdot 16 \cdot \frac{GM_{\text{Земля}}}{R_{\text{Земля}}^2} = 1280g_{\text{Земля}} \approx 1280 \cdot 9.81 \, \text{м/с}^2 = 125 \, \text{м/с}^2 \]
Таким образом, ускорение свободного падения на данной планете будет равно \( \approx 125 \, \text{м/с}^2 \).
- Для нахождения минимальной скорости, при которой вода из ведёрка не выливается, необходимо рассмотреть силу центробежного ускорения и гравитацию. Минимальная скорость \( v \) в верхней точке:
\[ \frac{m v^2}{R} = mg \Rightarrow v^2 = gR \] \[ v = \sqrt{gR} \]
Подставим \( R = 0.4 \, \text{м} \) и \( g \approx 9.81 \, \text{м/с}^2 \):
\[ v = \sqrt{9.81 \cdot 0.4} \approx \sqrt{3.924} \approx 1.98 \, \text{м/с} \]
Таким образом, минимальная скорость, при которой вода не выливается из ведёрка, составляет примерно \( 1.98 \, \text{м/с} \).
