- Рассмотрим первое уравнение. Ускорение ( a ) бруска на наклонной плоскости зависит от силы тяжести, силы нормальной реакции и силы трения. При увеличении массы бруска в 2 раза, сила тяжести увеличится в 2 раза, однако сила трения (которая равна ( f_t = \mu N ), где ( N ) – нормальная сила) также увеличивается, так как нормальная сила ( N ) пропорциональна массе. Ускорение в результате увеличивается, а сила трения также пропорционально увеличивается:
Ускорение: 1) увеличится.
Сила трения: 1) увеличится.
- Для расчета времени движения тела по наклонной плоскости нужно учитывать начальную скорость (равную нулю), длину наклонной плоскости ( d = 30 ) см и высоту ( h = 18 ) см.
Сначала найдем угол наклона ( \theta ):
[
\sin(\theta) = \frac{h}{d} = \frac{18 , \text{см}}{30 , \text{см}} = 0.6 \quad \Rightarrow \theta \approx \arcsin(0.6) \approx 36.87°
]
Сила тяжести вдоль плоскости будет равна ( mg \sin(\theta) ), а сила трения ( f_t = \mu mg \cos(\theta) ):
[
\cos(\theta) = \sqrt{1 - \sin^2(\theta)} \approx \sqrt{1 - 0.36} \approx 0.8
]
Обозначив ускорение как ( a ):
[
ma = mg \sin(\theta) - f_t = mg \sin(\theta) - \mu mg \cos(\theta)
]
[
a = g \sin(\theta) - \mu g \cos(\theta) = g (\sin(\theta) - \mu \cos(\theta))
]
Подставим значения:
( g \approx 9.81 , \text{м/с}^2 )
[
a = 9.81 , \text{м/с}^2 (0.6 - 0.731 \cdot 0.8) = 9.81 , \text{м/с}^2 (0.6 - 0.5848) = 9.81 , \text{м/с}^2 \cdot 0.0152 \approx 0.149 , \text{м/с}^2
]
Теперь используем уравнение движения с постоянным ускорением:
[
s = ut + \frac{1}{2} a t^2 \Rightarrow 0.3 = 0 + \frac{1}{2} (0.149) t^2
]
Решим для ( t ):
[
0.3 = \frac{1}{2} \cdot 0.149 \cdot t^2 \Rightarrow t^2 = \frac{0.3 \cdot 2}{0.149} \Rightarrow t^\approx \sqrt{4.03} \approx 2.01 , \text{с}
]
Таким образом, время движения тела составляет примерно 2.01 секунды.
- Ускорение свободного падения ( g' ) на другой планете вычисляется по формуле:
[
g' = \frac{GM'}{R'^2}
]
Где ( G ) - гравитационная постоянная. Если радиус планеты в 4 раза меньше, а масса в 80 раз меньше, то:
[
g' = \frac{G (80M_{\text{Земля}})}{( \frac{R_{\text{Земля}}}{4})^2} = \frac{G \cdot 80M_{\text{Земля}}}{\frac{R_{\text{Земля}}^2}{16}} = 80 \cdot 16 \cdot \frac{GM_{\text{Земля}}}{R_{\text{Земля}}^2} = 1280g_{\text{Земля}} \approx 1280 \cdot 9.81 , \text{м/с}^2 = 125 , \text{м/с}^2
]
Таким образом, ускорение свободного падения на данной планете будет равно ( \approx 125 , \text{м/с}^2 ).
- Для нахождения минимальной скорости, при которой вода из ведёрка не выливается, необходимо рассмотреть силу центробежного ускорения и гравитацию. Минимальная скорость ( v ) в верхней точке:
[
\frac{m v^2}{R} = mg \Rightarrow v^2 = gR
]
[
v = \sqrt{gR}
]
Подставим ( R = 0.4 , \text{м} ) и ( g \approx 9.81 , \text{м/с}^2 ):
[
v = \sqrt{9.81 \cdot 0.4} \approx \sqrt{3.924} \approx 1.98 , \text{м/с}
]
Таким образом, минимальная скорость, при которой вода не выливается из ведёрка, составляет примерно ( 1.98 , \text{м/с} ).
