Обозначим собственную скорость катера как ( v_k ) (в км/ч). Скорость катера относительно берега будет разной в зависимости от направления движения.
- Против течения реки скорость катера составит ( v_k - 3 ) км/ч.
- По течению реки скорость катера составит ( v_k + 3 ) км/ч.
Теперь, найдем время, затраченное на путь:
Общее время для движения против и по течению:
[
t_{total} = t_1 + t_2 = \frac{12}{v_k - 3} + \frac{5}{v_k + 3}
]
Это время должно быть равно времени, затраченному на путь 18 км по озеру, где скорость катера равна ( v_k ):
[
t_{lake} = \frac{18}{v_k}
]
Устанавливаем равенство между временем в реке и по озеру:
[
\frac{12}{v_k - 3} + \frac{5}{v_k + 3} = \frac{18}{v_k}
]
Теперь умножим обе части на ( v_k(v_k - 3)(v_k + 3) ), чтобы избавиться от дробей:
[
12v_k(v_k + 3) + 5v_k(v_k - 3) = 18(v_k - 3)(v_k + 3)
]
Раскроем скобки:
[
12v_k^2 + 36v_k + 5v_k^2 - 15v_k = 18(v_k^2 - 9)
]
[
(12v_k^2 + 5v_k^2 + 36v_k - 15v_k) = 18v_k^2 - 162
]
[
17v_k^2 + 21v_k + 162 = 18v_k^2 - 162
]
Переносим все в одну сторону:
[
0 = v_k^2 - 21v_k - 324
]
Решаем квадратное уравнение:
[
v_k^2 - 21v_k - 324 = 0
]
Находим дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = (-21)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-324) = 441 + 1296 = 1737
]
Находим корни:
[
v_k = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{21 \pm \sqrt{1737}}{2}
]
Теперь подставим значение дискриминанта и вычислим ( v_k ):
[
\sqrt{1737} \approx 41.66 \quad \text{(согласно расчетам)}
]
[
v_k \approx \frac{21 \pm 41.66}{2}
]
Рассмотрим только положительный корень:
[
v_k \approx \frac{62.66}{2} \approx 31.33 \text{ км/ч}
]
Таким образом, собственная скорость катера составляет aproximadamente 31.33 км/ч.
