Для решения задачи используем формулу для разности корней квадратного уравнения. Пусть ( x_1 ) и ( x_2 ) — корни уравнения ( x^2 + x + c = 0 ). Разность корней можно выразить с помощью формул Виета.
Корни уравнения можно найти с помощью формулы:
[
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
]
где ( D = b^2 - 4ac ) — дискриминант. В нашем уравнении ( a = 1 ), ( b = 1 ), ( c = c ). Таким образом, дискриминант будет равен:
[
D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot c = 1 - 4c.
]
Корни уравнения будут:
[
x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4c}}{2}.
]
Разность корней будет равна:
[
|x_1 - x_2| = \left| \frac{-1 + \sqrt{1 - 4c}}{2} - \frac{-1 - \sqrt{1 - 4c}}{2} \right| = \left| \frac{2\sqrt{1 - 4c}}{2} \right| = |\sqrt{1 - 4c}|.
]
Дано, что разность корней равна 6:
[
|\sqrt{1 - 4c}| = 6.
]
Это приводит нас к двум уравнениям:
( \sqrt{1 - 4c} = 6 )
( \sqrt{1 - 4c} = -6 ) (это невозможно, так как квадратный корень не может быть отрицательным)
Решим уравнение ( \sqrt{1 - 4c} = 6 ):
[
1 - 4c = 36
]
[
-4c = 35
]
[
c = -\frac{35}{4}.
]
Таким образом, значение ( c = -\frac{35}{4} ) удовлетворяет условию задачи.
