Для решения уравнения (x^4 - 15x^2 - 16 = 0) можно сделать замену переменной. Обозначим (y = x^2). Тогда уравнение принимает следующий вид:
[
y^2 - 15y - 16 = 0
]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 225 + 64 = 289
]
Теперь найдем корни уравнения:
[
y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 + 17}{2} = \frac{32}{2} = 16
]
[
y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 - 17}{2} = \frac{-2}{2} = -1
]
Теперь вернемся к переменной (x). Для (y_1 = 16) мы имеем:
[
x^2 = 16 \quad \Rightarrow \quad x = 4 \quad \text{или} \quad x = -4
]
Для (y_2 = -1) у нас нет действительных корней, так как (x^2) не может быть отрицательным.
Следовательно, уравнение (x^4 - 15x^2 - 16 = 0) имеет два действительных корня:
[
x = 4 \quad \text{и} \quad x = -4
]
