Чтобы найти высоту H, на которой столкнутся два тела, сначала нужно определить их положения как функции времени. Для первого тела, которое было брошено со скоростью (V_1 = 20 , \text{м/с}):
Положение первого тела в момент времени (t):
[
h_1(t) = V_1 \cdot t - \frac{g t^2}{2}
]
где (g \approx 9.81 , \text{м/с}^2) - ускорение свободного падения.
Для второго тела, которое было брошено через (Δt = 3 , \text{s}) со скоростью (V_2 = 10 , \text{м/с}), его положение можно выразить как:
[
h_2(t) = V_2 \cdot (t - Δt) - \frac{g (t - Δt)^2}{2}
]
при условии, что (t \geq Δt).
Теперь, подставим значения:
Для первого тела:
[
h_1(t) = 20t - \frac{9.81t^2}{2}
]
Для второго тела (используя (t - Δt = t - 3)):
[
h_2(t) = 10(t - 3) - \frac{9.81(t - 3)^2}{2}
]
[
h_2(t) = 10t - 30 - \frac{9.81(t^2 - 6t + 9)}{2}
]
[
= 10t - 30 - \frac{9.81t^2}{2} + 29.43t - 44.145
]
[
= (10 + 29.43)t - 30 - 44.145 - \frac{9.81t^2}{2}
]
[
= 39.43t - 74.145 - \frac{9.81t^2}{2}
]
Теперь, чтобы найти момент времени (t), когда тела столкнутся, приравняем (h_1(t)) и (h_2(t)):
[
20t - \frac{9.81t^2}{2} = 39.43t - 74.145 - \frac{9.81t^2}{2}
]
Сокращаем идентичные части:
[
20t = 39.43t - 74.145
]
[
74.145 = 39.43t - 20t
]
[
74.145 = 19.43t
]
[
t = \frac{74.145}{19.43} \approx 3.81 , \text{s}
]
Теперь подставим (t) в одно из уравнений, чтобы найти высоту (H):
[
H = h_1(3.81) = 20(3.81) - \frac{9.81(3.81)^2}{2}
]
[
H \approx 76.2 - \frac{9.81 \cdot 14.5161}{2} \approx 76.2 - 71.39 \approx 4.81 , \text{м}
]
Таким образом, высота (H), на которой столкнутся два тела, составляет примерно 4.81 метра.
