Для решения данной задачи начнем с данных:
- один из катетов ( a = 5 )
- радиус окружности, описанной около треугольника ( R = 6,5 )
В прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности рассчитывается по формуле:
[
R = \frac{c}{2}
]
где ( c ) — гипотенуза. Исходя из этого, находим гипотенузу:
[
c = 2R = 2 \times 6,5 = 13
]
Теперь используем теорему Пифагора для нахождения второго катета ( b ):
[
c^2 = a^2 + b^2
]
[
13^2 = 5^2 + b^2
]
[
169 = 25 + b^2
]
[
b^2 = 169 - 25 = 144
]
[
b = \sqrt{144} = 12
]
Теперь у нас есть оба катета: ( a = 5 ) и ( b = 12 ).
Для нахождения радиуса вписанной окружности ( r ) прямоугольного треугольника используется формула:
[
r = \frac{a + b - c}{2}
]
Подставим известные значения:
[
r = \frac{5 + 12 - 13}{2}
]
[
r = \frac{4}{2} = 2
]
Таким образом, радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен ( r = 2 ).
