Обозначим катеты треугольника как ( a ) и ( b ). Поскольку точка, равноудаленная от обоих катетов, делит гипотенузу на отрезки длиной 3 и 4 см, мы можем использовать теорему о средних пропорциях.
Пусть ( h ) — это высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу. По свойствам треугольника можем записать:
- ( h^2 = \frac{a^2 b^2}{(a+b)^2} )
- ( \text{Гипотенуза} = \sqrt{a^2 + b^2} )
- Поскольку точка делит гипотенузу на 3 и 4 см, то гипотенуза равна ( 3 + 4 = 7 ) см.
Согласно свойству равных отрезков от катетов, мы можем записать соотношения:
[
\frac{h}{3} = \frac{b}{a+b}
]
[
\frac{h}{4} = \frac{a}{a+b}
]
Из этих двух равенств можем выразить ( h ) через ( a ) и ( b ):
- ( h = \frac{3b}{a+b} )
- ( h = \frac{4a}{a+b} )
Приравняем полученные выражения для ( h ):
[
\frac{3b}{a+b} = \frac{4a}{a+b}
]
Упростим уравнение:
[
3b = 4a
]
Это можно записать как:
[
b = \frac{4}{3}a
]
Теперь подставим это выражение в формулу для гипотенузы:
[
7^2 = a^2 + b^2
]
Подставим ( b ):
[
7^2 = a^2 + \left(\frac{4}{3}a\right)^2
]
[
49 = a^2 + \frac{16}{9}a^2
]
[
49 = \left(1 + \frac{16}{9}\right)a^2
]
[
49 = \left(\frac{9}{9} + \frac{16}{9}\right)a^2
]
[
49 = \frac{25}{9}a^2
]
[
49 \cdot \frac{9}{25} = a^2
]
[
\frac{441}{25} = a^2
]
[
a = \frac{21}{5} = 4.2 \text{ см}
]
Теперь найдем ( b ):
[
b = \frac{4}{3}a = \frac{4}{3} \cdot \frac{21}{5} = \frac{84}{15} = 5.6 \text{ см}
]
Таким образом, катеты треугольника равны:
[
a = 4.2 \text{ см}, \quad b = 5.6 \text{ см}.
]
