Сумма двух натуральных чисел равна 19, а сумма квадратов чисел равна 185

Обозначим два натуральных числа как \( x \) и \( y \). Из условия задачи у нас есть две системы уравнений:

1. \( x + y = 19 \)
2. \( x^2 + y^2 = 185 \)

Решим первую часть:

Из первого уравнения можем выразить \( y \):

\[ y = 19 - x \]

Теперь подставим это значение во второе уравнение:

\[ x^2 + (19 - x)^2 = 185 \]

Раскроем скобки:

\[ x^2 + (19^2 - 38x + x^2) = 185 \]

\[ x^2 + 361 - 38x + x^2 = 185 \]

Соберем подобные:

\[ 2x^2 - 38x + 361 = 185 \]

Вычтем 185 из обеих сторон:

\[ 2x^2 - 38x + 176 = 0 \]

Теперь упростим уравнение, разделив всё на 2:

\[ x^2 - 19x + 88 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-19)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 88 = 361 - 352 = 9 \]

Теперь находим корни уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{19 \pm 3}{2} \]

Это даст нам два значения:

1. \( x = \frac{22}{2} = 11 \)
2. \( x = \frac{16}{2} = 8 \)

Теперь найдем \( y \):

Если \( x = 11 \), то \( y = 19 - 11 = 8 \).
Если \( x = 8 \), то \( y = 19 - 8 = 11 \).

Таким образом, два натуральных числа: 8 и 11.