Обозначим два натуральных числа как ( x ) и ( y ). Из условия задачи у нас есть две системы уравнений:
- ( x + y = 19 )
- ( x^2 + y^2 = 185 )
Решим первую часть:
Из первого уравнения можем выразить ( y ):
[ y = 19 - x ]
Теперь подставим это значение во второе уравнение:
[
x^2 + (19 - x)^2 = 185
]
Раскроем скобки:
[
x^2 + (19^2 - 38x + x^2) = 185
]
[
x^2 + 361 - 38x + x^2 = 185
]
Соберем подобные:
[
2x^2 - 38x + 361 = 185
]
Вычтем 185 из обеих сторон:
[
2x^2 - 38x + 176 = 0
]
Теперь упростим уравнение, разделив всё на 2:
[
x^2 - 19x + 88 = 0
]
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = (-19)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 88 = 361 - 352 = 9
]
Теперь находим корни уравнения:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{19 \pm 3}{2}
]
Это даст нам два значения:
- ( x = \frac{22}{2} = 11 )
- ( x = \frac{16}{2} = 8 )
Теперь найдем ( y ):
Если ( x = 11 ), то ( y = 19 - 11 = 8 ).
Если ( x = 8 ), то ( y = 19 - 8 = 11 ).
Таким образом, два натуральных числа: 8 и 11.
