2x-34 в корне равно 1+ xв корне

Для решения уравнения \( \sqrt{2x - 34} = 1 + \sqrt{x} \) начнем с того, что возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

\[ 2x - 34 = (1 + \sqrt{x})^2 \]

Раскрываем правую часть уравнения:

\[ (1 + \sqrt{x})^2 = 1 + 2\sqrt{x} + x \]

Таким образом, у нас получается:

\[ 2x - 34 = 1 + 2\sqrt{x} + x \]

Теперь переместим все термины в одну сторону:

\[ 2x - x - 34 - 1 - 2\sqrt{x} = 0 \]

Упростим уравнение:

\[ x - 35 - 2\sqrt{x} = 0 \]

Теперь упорядочим его:

\[ x - 35 = 2\sqrt{x} \]

Теперь возведем обе стороны в квадрат еще раз:

\[ (x - 35)^2 = (2\sqrt{x})^2 \]

Раскрываем скобки:

\[ x^2 - 70x + 1225 = 4x \]

Перемещаем все термины в одну сторону уравнения:

\[ x^2 - 74x + 1225 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-74)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1225 \]

Вычисляем:

\[ D = 5476 - 4900 = 576 \]

Теперь находим корни уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{74 \pm \sqrt{576}}{2} \]

Так как \( \sqrt{576} = 24 \):

\[ x = \frac{74 \pm 24}{2} \]

Теперь вычислим два возможных значения для \(x\):

1. \( x_1 = \frac{74 + 24}{2} = \frac{98}{2} = 49 \)
2. \( x_2 = \frac{74 - 24}{2} = \frac{50}{2} = 25 \)

Теперь проверим, удовлетворяют ли оба корня исходному уравнению:

1. Для \( x = 49 \): \[ \sqrt{2 \cdot 49 - 34} = \sqrt{98 - 34} = \sqrt{64} = 8 \] \[ 1 + \sqrt{49} = 1 + 7 = 8 \] Это решение верно.

2. Для \( x = 25 \): \[ \sqrt{2 \cdot 25 - 34} = \sqrt{50 - 34} = \sqrt{16} = 4 \] \[ 1 + \sqrt{25} = 1 + 5 = 6 \] Это решение неверно.

Таким образом, единственным решением уравнения является \( x = 49 \).