2x-34 в корне равно 1+ xв корне

Для решения уравнения \( \sqrt{2x - 34} = 1 + \sqrt{x} \) начнем с того, что возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня: \[ 2x - 34 = (1 + \sqrt{x})^2 \] Раскрываем правую часть уравнения: \[ (1 + \sqrt{x})^2 = 1 + 2\sqrt{x} + x \] Таким образом, у нас получается: \[ 2x - 34 = 1 + 2\sqrt{x} + x \] Теперь переместим все термины в одну сторону: \[ 2x - x - 34 - 1 - 2\sqrt{x} = 0 \] Упростим уравнение: \[ x - 35 - 2\sqrt{x} = 0 \] Теперь упорядочим его: \[ x - 35 = 2\sqrt{x} \] Теперь возведем обе стороны в квадрат еще раз: \[ (x - 35)^2 = (2\sqrt{x})^2 \] Раскрываем скобки: \[ x^2 - 70x + 1225 = 4x \] Перемещаем все термины в одну сторону уравнения: \[ x^2 - 74x + 1225 = 0 \] Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-74)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1225 \] Вычисляем: \[ D = 5476 - 4900 = 576 \] Теперь находим корни уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{74 \pm \sqrt{576}}{2} \] Так как \( \sqrt{576} = 24 \): \[ x = \frac{74 \pm 24}{2} \] Теперь вычислим два возможных значения для \(x\): 1. \( x_1 = \frac{74 + 24}{2} = \frac{98}{2} = 49 \) 2. \( x_2 = \frac{74 - 24}{2} = \frac{50}{2} = 25 \) Теперь проверим, удовлетворяют ли оба корня исходному уравнению: 1. Для \( x = 49 \): \[ \sqrt{2 \cdot 49 - 34} = \sqrt{98 - 34} = \sqrt{64} = 8 \] \[ 1 + \sqrt{49} = 1 + 7 = 8 \] Это решение верно. 2. Для \( x = 25 \): \[ \sqrt{2 \cdot 25 - 34} = \sqrt{50 - 34} = \sqrt{16} = 4 \] \[ 1 + \sqrt{25} = 1 + 5 = 6 \] Это решение неверно. Таким образом, единственным решением уравнения является \( x = 49 \).