x ^2-2x - 3≤ 0 метод интервала

Для решения неравенства \( x^2 - 2x - 3 \leq 0 \) методом интервалов, давайте сначала найдем корни квадратного уравнения \( x^2 - 2x - 3 = 0 \).

1. Найдём корни: Используем формулу корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Здесь \( a = 1 \), \( b = -2 \), \( c = -3 \).

   Подставим значения: \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} \] \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} \] \[ x = \frac{2 \pm 4}{2} \]

   Получаем два корня: \[ x_1 = \frac{6}{2} = 3 \] \[ x_2 = \frac{-2}{2} = -1 \]

2. Строим числовую прямую: Мы имеем корни \( x_1 = 3 \) и \( x_2 = -1 \). Теперь разложим числовую прямую на интервалы:

   • \( (-\infty, -1) \)
   • \( (-1, 3) \)
   • \( (3, +\infty) \)

3. Выбираем тестовые точки: Мы проверим знак выражения \( x^2 - 2x - 3 \) в каждом интервале.

   • Для интервала \( (-\infty, -1) \), возьмем тестовую точку \( x = -2 \): \[ (-2)^2 - 2(-2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5 > 0 \]
   • Для интервала \( (-1, 3) \), возьмем тестовую точку \( x = 0 \): \[ 0^2 - 2 \cdot 0 - 3 = -3 < 0 \]
   • Для интервала \( (3, +\infty) \), возьмем тестовую точку \( x = 4 \): \[ 4^2 - 2 \cdot 4 - 3 = 16 - 8 - 3 = 5 > 0 \]

4. Записываем результаты: Мы имеем:

   • В интервале \( (-\infty, -1) \) выражение положительное.
   • В интервале \( (-1, 3) \) выражение отрицательное.
   • В интервале \( (3, +\infty) \) выражение положительное.

5. Анализируем границы: Мы также должны проверить, включаются ли корни (-1 и 3) в решение:

   • В точке \( x = -1 \): \[ (-1)^2 - 2(-1) - 3 = 0 \]
   • В точке \( x = 3 \): \[ 3^2 - 2 \cdot 3 - 3 = 0 \]

   Оба корня являются границами, при \( \leq 0 \) они включаются в решение.

6. Записываем окончательное решение: На основании вышеизложенного, решение неравенства: \[ x \in [-1, 3] \]