Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды наклонено к плоскости основания под углом 45°. Радиус сферы, описанной около пирамиды, равен 4 см. Найдите сторону основания…

Для решения задачи начнем с определения нужных параметров правильной четырёхугольной пирамиды.

Наша пирамида имеет квадратное основание. Обозначим сторону основания квадрата как \( a \), высоту пирамиды — как \( h \), а угол между боковым ребром и плоскостью основания равен \( 45^\circ \).

Согласно условиям задачи, радиус сферы, описанной около пирамиды \( R = 4 \, \text{см} \).

Связь радиуса описанной сферы и параметров пирамиды

Радиус описанной сферы для правильной пирамиды может вычисляться по следующей формуле: \[ R = \frac{a}{2 \sqrt{2}} \sqrt{1 + \left(\frac{h}{\frac{a}{2}} \right)^2} \] В данной формуле радиус \( R \) равен 4 см, и мы знаем, что угол наклона бокового ребра к основанию равен \( 45^\circ \), значит, высота \( h \) пирамиды будет равна половине диагонали основания пирамиды.

Вычисление высоты пирамиды

Диагональ квадрата со стороной \( a \) равна: \[ d = a\sqrt{2} \] Половина диагонали: \[ \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2} \]

Так как угол между боковым ребром и основанием \( 45^\circ \), по свойствам треугольника в прямом угле, получаем: \[ h = \frac{a \sqrt{2}}{2} \]

Подставим в формулу для радиуса

Теперь подставим \( h \) в формулу для радиуса \( R \): \[ R = \frac{a}{2\sqrt{2}} \sqrt{1 + \left(\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\frac{a}{2}}\right)^2} \] Упрощаем: \[ R = \frac{a}{2\sqrt{2}} \sqrt{1 + 1} = \frac{a}{2\sqrt{2}} \sqrt{2} = \frac{a}{2} \]

Таким образом, мы имеем: \[ R = \frac{a}{2} \] Для известного радиуса \( R = 4 \, \text{см} \): \[ 4 = \frac{a}{2} \] Отсюда: \[ a = 8 \, \text{см} \]

Ответ

Сторона основания пирамиды равна \( 8 \, \text{см} \).