Для решения задачи начнем с определения нужных параметров правильной четырёхугольной пирамиды.
Наша пирамида имеет квадратное основание. Обозначим сторону основания квадрата как ( a ), высоту пирамиды — как ( h ), а угол между боковым ребром и плоскостью основания равен ( 45^\circ ).
Согласно условиям задачи, радиус сферы, описанной около пирамиды ( R = 4 , \text{см} ).
Связь радиуса описанной сферы и параметров пирамиды
Радиус описанной сферы для правильной пирамиды может вычисляться по следующей формуле:
[
R = \frac{a}{2 \sqrt{2}} \sqrt{1 + \left(\frac{h}{\frac{a}{2}} \right)^2}
]
В данной формуле радиус ( R ) равен 4 см, и мы знаем, что угол наклона бокового ребра к основанию равен ( 45^\circ ), значит, высота ( h ) пирамиды будет равна половине диагонали основания пирамиды.
Вычисление высоты пирамиды
Диагональ квадрата со стороной ( a ) равна:
[
d = a\sqrt{2}
]
Половина диагонали:
[
\frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}
]
Так как угол между боковым ребром и основанием ( 45^\circ ), по свойствам треугольника в прямом угле, получаем:
[
h = \frac{a \sqrt{2}}{2}
]
Подставим в формулу для радиуса
Теперь подставим ( h ) в формулу для радиуса ( R ):
[
R = \frac{a}{2\sqrt{2}} \sqrt{1 + \left(\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\frac{a}{2}}\right)^2}
]
Упрощаем:
[
R = \frac{a}{2\sqrt{2}} \sqrt{1 + 1} = \frac{a}{2\sqrt{2}} \sqrt{2} = \frac{a}{2}
]
Таким образом, мы имеем:
[
R = \frac{a}{2}
]
Для известного радиуса ( R = 4 , \text{см} ):
[
4 = \frac{a}{2}
]
Отсюда:
[
a = 8 , \text{см}
]
Ответ
Сторона основания пирамиды равна ( 8 , \text{см} ).
