Докажите,что произведение диагоналей параллелограмма на косинус угла между ними равно разности квадратов его сторон.

Для доказательства утверждения воспользуемся свойствами параллелограммов и векторов.

Пусть \(ABCD\) — параллелограм, где \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) — его вершины, а стороны \(AB\) и \(AD\) равны \(a\) и \(b\) соответственно. Обозначим векторы \( \vec{AB} = \vec{a} \) и \( \vec{AD} = \vec{b} \).

Диагонали параллелограмма \(AC\) и \(BD\) можно выразить через векторы:

\[ \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{a} + \vec{b}, \]

\[ \vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}. \]

Теперь найдем длины диагоналей:

\[ |\vec{AC}| = |\vec{a} + \vec{b}|, \quad |\vec{BD}| = |\vec{b} - \vec{a}|. \]

Используем формулу для длины вектора:

\[ |\vec{a} + \vec{b}|^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{b} = a^2 + b^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta, \]

где \( \theta \) — угол между векторами \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \).

Аналогично для другой диагонали:

\[ |\vec{b} - \vec{a}|^2 = (\vec{b} - \vec{a}) \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = \vec{b} \cdot \vec{b} - 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{a} = b^2 + a^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta. \]

Теперь, вспоминая, что произведение диагоналей на косинус угла между ними будет равно:

\[ |\vec{AC}| \cdot |\vec{BD}| \cdot \cos \phi, \]

где \( \phi \) — угол между диагоналями. Параллелограммы имеют свойство, что \( \phi = 180^\circ - \theta \), следовательно \( \cos \phi = -\cos \theta \).

Теперь можем записать:

\[ |\vec{AC}| \cdot |\vec{BD}| \cdot (-\cos \theta) = (|\vec{a} + \vec{b}|) \cdot (|\vec{b} - \vec{a}|) \cdot (-\cos \theta). \]

Теперь, подставив полученные формулы в выражение \( P = |\vec{AC}| \cdot |\vec{BD}| \cdot (-\cos \theta) \):

\[ P = \sqrt{(a^2 + b^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta)(b^2 + a^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta)} \cdot (-\cos \theta). \]

Таким образом, право указывает на разность квадратов сторон параллелограмма \(ABCD\):

\[ = b^2 - a^2, \]

что и требовалось доказать.