сумма корней приведенного квадратного уравнения x²+px+q=0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену, доказать…

Чтобы доказать теорему о сумме и произведении корней квадратного уравнения, рассмотрим общее квадратное уравнение в приведенной форме:

\[ x^2 + px + q = 0, \]

где \( p \) — это коэффициент при \( x \), а \( q \) — свободный член.

Согласно теореме Виета, для квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \), сумма корней \( x_1 + x_2 \) равна \( -\frac{b}{a} \), а произведение корней \( x_1 \cdot x_2 \) равно \( \frac{c}{a} \).

В нашем случае, \( a = 1 \), \( b = p \), и \( c = q \). Тогда:

1. Сумма корней: \[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{p}{1} = -p. \] Это соответствует утверждению, что сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком.

2. Произведение корней: \[ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{q}{1} = q. \] Это соответствует утверждению, что произведение корней равно свободному члену.

Таким образом, мы доказали, что сумма корней квадратного уравнения \( x^2 + px + q = 0 \) равна \( -p \) (второй коэффициент с противоположным знаком), а произведение корней равно \( q \) (свободный член).

Следовательно, утверждение теоремы верно.