Сумма корней приведенного квадратного уравнения x²+px+q=0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену, доказать теорему

Чтобы доказать теорему о сумме и произведении корней квадратного уравнения, рассмотрим общее квадратное уравнение в приведенной форме: \[ x^2 + px + q = 0, \] где \( p \) — это коэффициент при \( x \), а \( q \) — свободный член. Согласно теореме Виета, для квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \), сумма корней \( x_1 + x_2 \) равна \( -\frac{b}{a} \), а произведение корней \( x_1 \cdot x_2 \) равно \( \frac{c}{a} \). В нашем случае, \( a = 1 \), \( b = p \), и \( c = q \). Тогда: 1. **Сумма корней**: \[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{p}{1} = -p. \] Это соответствует утверждению, что сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком. 2. **Произведение корней**: \[ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{q}{1} = q. \] Это соответствует утверждению, что произведение корней равно свободному члену. Таким образом, мы доказали, что сумма корней квадратного уравнения \( x^2 + px + q = 0 \) равна \( -p \) (второй коэффициент с противоположным знаком), а произведение корней равно \( q \) (свободный член). Следовательно, утверждение теоремы верно.