Давайте решим каждое из уравнений по порядку и затем проверим корни с помощью теоремы Виета.
а) ( x^2 - 15x - 16 = 0 )
Для решения уравнения используем формулу дискриминанта:
[ D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4(1)(-16) = 225 + 64 = 289 ]
Теперь находим корни:
[ x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 \pm 17}{2} ]
Корни:
[ x_1 = \frac{32}{2} = 16 ]
[ x_2 = \frac{-2}{2} = -1 ]
Проверим по теореме Виета:
- ( x_1 + x_2 = 16 - 1 = 15 ) (совпадает с ( -b ))
- ( x_1 \cdot x_2 = 16 \cdot (-1) = -16 ) (совпадает с ( c ))
б) ( m^2 - 6m - 11 = 0 )
Дискриминант:
[ D = (-6)^2 - 4(1)(-11) = 36 + 44 = 80 ]
Корни:
[ m_1, m_2 = \frac{6 \pm \sqrt{80}}{2(1)} = \frac{6 \pm 4\sqrt{5}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{5} ]
Проверим по теореме Виета:
- ( m_1 + m_2 = 6 )
- ( m_1 \cdot m_2 = -11 )
в) ( 12x^2 - 4x - 1 = 0 )
Дискриминант:
[ D = (-4)^2 - 4(12)(-1) = 16 + 48 = 64 ]
Корни:
[ x_1, x_2 = \frac{4 \pm 8}{2(12)} ]
Корни:
[ x_1 = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}, , x_2 = \frac{-4}{24} = -\frac{1}{6} ]
Проверим по теореме Виета:
- ( x_1 + x_2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} )
- ( x_1 \cdot x_2 = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{6}\right) = -\frac{1}{12} )
г) ( t^2 - 6 = 0 )
Корни:
[ t^2 = 6 \implies t = \pm \sqrt{6} ]
Проверим по теореме Виета:
- ( t_1 + t_2 = 0 )
- ( t_1 \cdot t_2 = -6 )
д) ( 5x^2 - 18x = 0 )
Факторизуем:
[ x(5x - 18) = 0 ]
Корни:
[ x_1 = 0, \quad x_2 = \frac{18}{5} ]
Проверим:
- ( x_1 + x_2 = 0 + \frac{18}{5} = \frac{18}{5} )
- ( x_1 \cdot x_2 = 0 \cdot \frac{18}{5} = 0 )
е) ( 2y^2 - 41 = 0 )
Корни:
[ 2y^2 = 41 \implies y^2 = \frac{41}{2} \implies y = \pm \sqrt{\frac{41}{2}} ]
Проверим по теореме Виета:
- ( y_1 + y_2 = 0 )
- ( y_1 \cdot y_2 = -\frac{41}{2} )
Вывод
Все уравнения найдены, и корни были подтверждены проверкой с помощью теоремы Виета.
