Найдите корни уравнения и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета: а) x² – 15x – 16 = 0 б) m² – 6m – 11 = 0 в) 12x² – 4x – 1 = 0 г) t² – 6 = 0 д) 5x² – 18x = 0 е)…

Давайте решим каждое из уравнений по порядку и затем проверим корни с помощью теоремы Виета.

а) \( x^2 - 15x - 16 = 0 \)

Для решения уравнения используем формулу дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4(1)(-16) = 225 + 64 = 289 \]

Теперь находим корни: \[ x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 \pm 17}{2} \]

Корни: \[ x_1 = \frac{32}{2} = 16 \] \[ x_2 = \frac{-2}{2} = -1 \]

Проверим по теореме Виета:

• \( x_1 + x_2 = 16 - 1 = 15 \) (совпадает с \( -b \))
• \( x_1 \cdot x_2 = 16 \cdot (-1) = -16 \) (совпадает с \( c \))

б) \( m^2 - 6m - 11 = 0 \)

Дискриминант: \[ D = (-6)^2 - 4(1)(-11) = 36 + 44 = 80 \]

Корни: \[ m_1, m_2 = \frac{6 \pm \sqrt{80}}{2(1)} = \frac{6 \pm 4\sqrt{5}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{5} \]

Проверим по теореме Виета:

• \( m_1 + m_2 = 6 \)
• \( m_1 \cdot m_2 = -11 \)

в) \( 12x^2 - 4x - 1 = 0 \)

Дискриминант: \[ D = (-4)^2 - 4(12)(-1) = 16 + 48 = 64 \]

Корни: \[ x_1, x_2 = \frac{4 \pm 8}{2(12)} \]

Корни: \[ x_1 = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}, \, x_2 = \frac{-4}{24} = -\frac{1}{6} \]

Проверим по теореме Виета:

• \( x_1 + x_2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)
• \( x_1 \cdot x_2 = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{6}\right) = -\frac{1}{12} \)

г) \( t^2 - 6 = 0 \)

Корни: \[ t^2 = 6 \implies t = \pm \sqrt{6} \]

Проверим по теореме Виета:

• \( t_1 + t_2 = 0 \)
• \( t_1 \cdot t_2 = -6 \)

д) \( 5x^2 - 18x = 0 \)

Факторизуем: \[ x(5x - 18) = 0 \]

Корни: \[ x_1 = 0, \quad x_2 = \frac{18}{5} \]

Проверим:

• \( x_1 + x_2 = 0 + \frac{18}{5} = \frac{18}{5} \)
• \( x_1 \cdot x_2 = 0 \cdot \frac{18}{5} = 0 \)

е) \( 2y^2 - 41 = 0 \)

Корни: \[ 2y^2 = 41 \implies y^2 = \frac{41}{2} \implies y = \pm \sqrt{\frac{41}{2}} \]

Проверим по теореме Виета:

• \( y_1 + y_2 = 0 \)
• \( y_1 \cdot y_2 = -\frac{41}{2} \)

Вывод

Все уравнения найдены, и корни были подтверждены проверкой с помощью теоремы Виета.