Чтобы решить систему уравнений для точек пересечения трёх плоскостей, можно использовать три метода: по формулам Крамера, методом Гаусса и матричным методом. На фотографии представлены следующие уравнения плоскостей:
- (2x - y + z = 2)
- (-x + 3y - 2z = 3)
- (x + y + z = 9)
Метод Крамера:
Для использования формул Крамера нужно найти определители.
Изначальная система в матричной форме:
[
A =
\begin{pmatrix}
2 & -1 & 1 \
-1 & 3 & -2 \
1 & 1 & 1 \
\end{pmatrix},
\quad
\mathbf{b} =
\begin{pmatrix}
2 \
3 \
9 \
\end{pmatrix}
]
Найдём ( \det(A) ):
[
\det(A) = 2(3 \times 1 - (-2) \times 1) - (-1)(-1 \times 1 - (-2) \times 1) + 1(-1 \times 1 - 3 \times 1)
]
[
= 2(3 + 2) - (-1)(-1 + 2) + 1(-1 - 3)
]
[
= 2 \times 5 - 1 \times 1 - 4 = 10 - 1 - 4 = 5
]
Теперь найдём ( \det(A_x), \det(A_y), \det(A_z) ), подставив (\mathbf{b}) в соответствующие столбцы матрицы (A).
Метод Гаусса:
Преобразуем систему уравнений к ступенчатому виду, чтобы использовать метод обратного хода.
Матричный метод:
Используем обратную матрицу для решения. Вычисляем (\mathbf{x} = A^{-1} \mathbf{b}).
Если нужно пошаговое решение каждого метода, сообщите, и я добавлю больше подробностей.
