решите уравнение (x-1)⁴-5x²+10x-1=0. 1) с помощью замены y=(x-1)² сведите уравнение к квадратному. какое уравнение получится? y²+5y+4=0. yŵ-5y+4=0. y²-5y-4=9. y²-9y+9=0. 2)…
Решите уравнение (x-1)⁴-5x²+10x-1=0. 1) с помощью замены y=(x-1)² сведите уравнение к квадратному. какое уравнение получится? y²+5y+4=0. yŵ-5y+4=0. y²-5y-4=9. y²-9y+9=0. 2) Найдите сумму корней квадратного уравнения с переменной y, полученного в ходе замены.. 3) Найдите произведение корней уравнения (x-1)⁴-5x²+10x-1=0. задание 2: решите уравнение сводящихся к квадратным. решите уравнение 51-5x/x-3+36/x+3=0. 1) сколько корней имеет уравнения? 2) найдите произведение корней уравнения. задание 3: приведённая квадратные уравнения и теоремы Виета. дано уравнение x²-12x+17=0, x¹, x² – его корни. 1) Чему равно численное значение выражения x¹×x²? 2) чему равно численное значение выражения x²+x² ¹ ²?
Задание 1:
Для уравнения \((x-1)^{4}-5x^{2}+10x-1=0\) сделаем замену \(y=(x-1)^{2}\). Тогда \((x-1)^{4} = y^{2}\).
Мы сейчас выразим \(x\) через \(y\):
У нас \(y = (x-1)^{2} \Rightarrow x-1 = \sqrt{y} \Rightarrow x = \sqrt{y} + 1\).
Поставим \(x\) в уравнение:
\[ 5x^2 = 5(\sqrt{y} + 1)^{2} = 5(y + 2\sqrt{y} + 1) = 5y + 10\sqrt{y} + 5. \] Теперь подставим это в исходное уравнение:
\[ y^{2} - (5y + 10\sqrt{y} + 5) + 10(\sqrt{y} + 1) - 1 = 0. \]
Приведём подобные:
\[ y^{2} - 5y - 5 + 10\sqrt{y} - 1 = 0 \implies y^{2} - 5y + 4 + 10\sqrt{y} = 0. \]
Мы видим, что выражение содержит \(\sqrt{y}\), так что мы можем упростить его.
Ответ 1:
Уравнение, полученное при замене, будет иметь вид \(y^{2} - 5y - 4 + 10\sqrt{y} = 0\).
Задание 2:
Решение уравнения \(\frac{51-5x}{x-3} + \frac{36}{x+3} = 0\).
Приведём к общему знаменателю:
\[ \frac{(51-5x)(x+3) + 36(x-3)}{(x-3)(x+3)} = 0. \]
Умножив на знаменатель (при \(x \neq 3\) и \(x \neq -3\)):
\[ (51-5x)(x+3) + 36(x-3) = 0. \]
Раскроем скобки: \[ 51x + 153 - 5x^2 - 15x + 36x - 108 = 0. \]
Приведём подобные и упростим: \[ -5x^{2} + 72x + 45 = 0. \]
Это квадратное уравнение.
1) Найдём количество корней:
Дискриминант \(D\):
\[ D = 72^2 - 4 \times (-5) \times 45 = 5184 + 900 = 6084. \]
Так как \(D > 0\), у уравнения 2 корня.
Ответ 1 (задание 2):
У уравнения 2 корня.
2) Найдите произведение корней:
Используя теорему Виета: \[ x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{45}{-5} = -9. \]
Ответ 2 (задание 2):
Произведение корней уравнения \(-9\).
Задание 3:
Для уравнения \(x^2 - 12x + 17 = 0\):
- Произведение корней \(x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a} = \frac{17}{1} = 17\).
Ответ 1 (задание 3):
Численное значение выражения \(x_{1} \cdot x_{2} = 17\).
- Сумма корней \(x_{1} + x_{2} = -\frac{b}{a} = 12\).
Ответ 2 (задание 3):
Численное значение выражения \(x_{1} + x_{2} = 12\).
