диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке O. Найдите угол между векторами: а) вектор ОА и ОВ б) вектор АО и ОВ
Чтобы определить угол между векторами, нам нужно понять, как располагаются векторы в квадрате.
- Угол между векторами \( \vec{OA} \) и \( \vec{OB} \):
Так как квадрат ABCD симметричен, можно представить его следующим образом:
- \( A(1, 1) \)
- \( B(1, -1) \)
- \( C(-1, -1) \)
- \( D(-1, 1) \)
- \( O(0, 0) \) (центр квадрата)
Теперь найдем векторы:
- Вектор \( \vec{OA} = A - O = (1, 1) - (0, 0) = (1, 1) \)
- Вектор \( \vec{OB} = B - O = (1, -1) - (0, 0) = (1, -1) \)
Для нахождения угла между этими векторами \(\theta\), используем скалярное произведение: \[ \vec{OA} \cdot \vec{OB} = |\vec{OA}| |\vec{OB}| \cos(\theta) \]
Сначала найдем длины векторов: \[ |\vec{OA}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \] \[ |\vec{OB}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} \]
Скалярное произведение: \[ \vec{OA} \cdot \vec{OB} = (1)(1) + (1)(-1) = 1 - 1 = 0 \]
Так как скалярное произведение равно нулю, то векторы \( \vec{OA} \) и \( \vec{OB} \) перпендикулярны. Следовательно, угол между ними равен \( 90^\circ \).
- Угол между векторами \( \vec{AO} \) и \( \vec{OB} \):
Вектора:
- Вектор \( \vec{AO} = O - A = (0, 0) - (1, 1) = (-1, -1) \)
- Вектор \( \vec{OB} = (1, -1) \) (та же самая \( \vec{OB} \))
Скалярное произведение: \[ \vec{AO} \cdot \vec{OB} = (-1)(1) + (-1)(-1) = -1 + 1 = 0 \]
Опять же, так как скалярное произведение равно нулю, векторы \( \vec{AO} \) и \( \vec{OB} \) также перпендикулярны. Следовательно, угол между ними также равен \( 90^\circ \).
Таким образом, углы: а) Угол между векторами \( \vec{OA} \) и \( \vec{OB} \): \( 90^\circ \) б) Угол между векторами \( \vec{AO} \) и \( \vec{OB} \): \( 90^\circ \)
