Чтобы определить угол между векторами, нам нужно понять, как располагаются векторы в квадрате.
- Угол между векторами ( \vec{OA} ) и ( \vec{OB} ):
Так как квадрат ABCD симметричен, можно представить его следующим образом:
- ( A(1, 1) )
- ( B(1, -1) )
- ( C(-1, -1) )
- ( D(-1, 1) )
- ( O(0, 0) ) (центр квадрата)
Теперь найдем векторы:
- Вектор ( \vec{OA} = A - O = (1, 1) - (0, 0) = (1, 1) )
- Вектор ( \vec{OB} = B - O = (1, -1) - (0, 0) = (1, -1) )
Для нахождения угла между этими векторами (\theta), используем скалярное произведение:
[
\vec{OA} \cdot \vec{OB} = |\vec{OA}| |\vec{OB}| \cos(\theta)
]
Сначала найдем длины векторов:
[
|\vec{OA}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}
]
[
|\vec{OB}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}
]
Скалярное произведение:
[
\vec{OA} \cdot \vec{OB} = (1)(1) + (1)(-1) = 1 - 1 = 0
]
Так как скалярное произведение равно нулю, то векторы ( \vec{OA} ) и ( \vec{OB} ) перпендикулярны. Следовательно, угол между ними равен ( 90^\circ ).
- Угол между векторами ( \vec{AO} ) и ( \vec{OB} ):
Вектора:
- Вектор ( \vec{AO} = O - A = (0, 0) - (1, 1) = (-1, -1) )
- Вектор ( \vec{OB} = (1, -1) ) (та же самая ( \vec{OB} ))
Скалярное произведение:
[
\vec{AO} \cdot \vec{OB} = (-1)(1) + (-1)(-1) = -1 + 1 = 0
]
Опять же, так как скалярное произведение равно нулю, векторы ( \vec{AO} ) и ( \vec{OB} ) также перпендикулярны. Следовательно, угол между ними также равен ( 90^\circ ).
Таким образом, углы:
а) Угол между векторами ( \vec{OA} ) и ( \vec{OB} ): ( 90^\circ )
б) Угол между векторами ( \vec{AO} ) и ( \vec{OB} ): ( 90^\circ )
