Обозначим длины сторон прямоугольника как ( x ) и ( y ).
Согласно условию задачи, периметр прямоугольника равен 68 см. Это можно записать как уравнение:
[
2(x + y) = 68.
]
Отсюда находим:
[
x + y = 34. \quad (1)
]
Теперь, если стороны прямоугольника увеличиваются на ( a ) сантиметров, то новые длины сторон будут ( x + a ) и ( y + a ). Площадь нового прямоугольника будет равна:
[
(x + a)(y + a).
]
Площадь исходного прямоугольника равна ( xy ). По условию, площадь увеличилась на 240 см², тогда можно записать следующее уравнение:
[
(x + a)(y + a) = xy + 240. \quad (2)
]
Распишем уравнение (2):
[
xy + ay + ax + a^2 = xy + 240.
]
Сокращаем ( xy ):
[
ay + ax + a^2 = 240.
]
Вынесем ( a ) за скобки:
[
a(x + y) + a^2 = 240.
]
Подставим ( x + y ) из уравнения (1):
[
a(34) + a^2 = 240.
]
Запишем это уравнение:
[
34a + a^2 = 240.
]
Перепишем его в стандартной форме:
[
a^2 + 34a - 240 = 0.
]
Теперь решим это квадратное уравнение. Используем дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = 34^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-240) = 1156 + 960 = 2116.
]
Находим корень дискриминанта:
[
\sqrt{2116} = 46.
]
Теперь найдем корни уравнения:
[
a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-34 \pm 46}{2}.
]
Решения будут:
[
a_1 = \frac{12}{2} = 6,
]
[
a_2 = \frac{-80}{2} = -40.
]
Поскольку ( a ) не может быть отрицательным, принимаем только положительное значение:
[
a = 6.
]
Таким образом, величина ( a ) равна 6 см.
