в стороны прямоугольника с периметром 68 см увеличили на а сантиметров при этом его площадь увеличилась на 240 см². Найдите величину а

Обозначим длины сторон прямоугольника как \( x \) и \( y \).

Согласно условию задачи, периметр прямоугольника равен 68 см. Это можно записать как уравнение: \[ 2(x + y) = 68. \] Отсюда находим: \[ x + y = 34. \quad (1) \]

Теперь, если стороны прямоугольника увеличиваются на \( a \) сантиметров, то новые длины сторон будут \( x + a \) и \( y + a \). Площадь нового прямоугольника будет равна: \[ (x + a)(y + a). \]

Площадь исходного прямоугольника равна \( xy \). По условию, площадь увеличилась на 240 см², тогда можно записать следующее уравнение: \[ (x + a)(y + a) = xy + 240. \quad (2) \]

Распишем уравнение (2): \[ xy + ay + ax + a^2 = xy + 240. \] Сокращаем \( xy \): \[ ay + ax + a^2 = 240. \] Вынесем \( a \) за скобки: \[ a(x + y) + a^2 = 240. \]

Подставим \( x + y \) из уравнения (1): \[ a(34) + a^2 = 240. \] Запишем это уравнение: \[ 34a + a^2 = 240. \] Перепишем его в стандартной форме: \[ a^2 + 34a - 240 = 0. \]

Теперь решим это квадратное уравнение. Используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 34^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-240) = 1156 + 960 = 2116. \] Находим корень дискриминанта: \[ \sqrt{2116} = 46. \]

Теперь найдем корни уравнения: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-34 \pm 46}{2}. \]

Решения будут: \[ a_1 = \frac{12}{2} = 6, \] \[ a_2 = \frac{-80}{2} = -40. \]

Поскольку \( a \) не может быть отрицательным, принимаем только положительное значение: \[ a = 6. \]

Таким образом, величина \( a \) равна 6 см.