1.Исследуйте функцию f(x)= x/x^2-2 1.Найдите область определения 2.Определите, является ли функция чётной или нечётной 3.Найдите промежутки монотонности

Давайте исследуем функцию \( f(x) = \frac{x}{x^2 - 2} \). ### 1. Область определения Область определения функции \( f(x) \) включает в себя все значения \( x \), при которых функция определена. В данном случае функция будет неопределена, если знаменатель равен нулю, то есть: \[ x^2 - 2 = 0 \] Решим это уравнение: \[ x^2 = 2 \implies x = \pm \sqrt{2} \] Таким образом, функция не определена в точках \( x = \sqrt{2} \) и \( x = -\sqrt{2} \). Следовательно, область определения функции: \[ D(f) = \mathbb{R} \setminus \{-\sqrt{2}, \sqrt{2}\} \] ### 2. Чётность или нечётность функции Чтобы определить, является ли функция чётной или нечётной, мы проверим, выполняются ли условия: - Функция чётная, если \( f(-x) = f(x) \) - Функция нечётная, если \( f(-x) = -f(x) \) Вычислим \( f(-x) \): \[ f(-x) = \frac{-x}{(-x)^2 - 2} = \frac{-x}{x^2 - 2} \] Теперь сравним \( f(-x) \) и \( -f(x) \): \[ -f(x) = -\frac{x}{x^2 - 2} = \frac{-x}{x^2 - 2} \] Мы видим, что \( f(-x) = -f(x) \). Это означает, что функция \( f(x) \) является нечётной. ### 3. Промежутки монотонности Для определения промежутков монотонности нужно найти производную функции и определить, где она положительна, а где отрицательна. Используя правило частного, мы найдем производную: \[ f'(x) = \frac{(x^2 - 2) \cdot 1 - x \cdot 2x}{(x^2 - 2)^2} \] Упростим: \[ f'(x) = \frac{x^2 - 2 - 2x^2}{(x^2 - 2)^2} = \frac{-x^2 - 2}{(x^2 - 2)^2} = \frac{-(x^2 + 2)}{(x^2 - 2)^2} \] Так как \( x^2 + 2 > 0 \) для всех \( x \), знак производной зависит только от знаменателя \( (x^2 - 2)^2 \). Знак производной определяет знак фактора: - Знак производной зависит от \( x^2 - 2 \): - \( x^2 - 2 > 0 \) (положительно) при \( x > \sqrt{2} \) и \( x < -\sqrt{2} \) - \( x^2 - 2 < 0 \) (отрицательно) при \( -\sqrt{2} < x < \sqrt{2} \) Имеем: - \( f'(x) < 0 \) на промежутке \( (-\sqrt{2}, \sqrt{2}) \) (функция убывает), - \( f'(x) > 0 \) на промежутках \( (-\infty, -\sqrt{2}) \) и \( (\sqrt{2}, +\infty) \) (функция возрастает). ### Ответ 1. Область определения: \( D(f) = \mathbb{R} \setminus \{-\sqrt{2}, \sqrt{2}\} \) 2. Функция нечётная. 3. Промежутки монотонности: - Функция возрастает на \( (-\infty, -\sqrt{2}) \) и \( (\sqrt{2}, +\infty) \) - Функция убывает на \( (-\sqrt{2}, \sqrt{2}) \)