1.Исследуйте функцию f(x)= x/x^2-2 1.Найдите область определения 2.Определите, является ли функция чётной или нечётной 3.Найдите промежутки монотонности

Давайте исследуем функцию \( f(x) = \frac{x}{x^2 - 2} \).

1. Область определения

Область определения функции \( f(x) \) включает в себя все значения \( x \), при которых функция определена. В данном случае функция будет неопределена, если знаменатель равен нулю, то есть:

\[ x^2 - 2 = 0 \]

Решим это уравнение:

\[ x^2 = 2 \implies x = \pm \sqrt{2} \]

Таким образом, функция не определена в точках \( x = \sqrt{2} \) и \( x = -\sqrt{2} \).

Следовательно, область определения функции:

\[ D(f) = \mathbb{R} \setminus \{-\sqrt{2}, \sqrt{2}\} \]

2. Чётность или нечётность функции

Чтобы определить, является ли функция чётной или нечётной, мы проверим, выполняются ли условия:

• Функция чётная, если \( f(-x) = f(x) \)
• Функция нечётная, если \( f(-x) = -f(x) \)

Вычислим \( f(-x) \):

\[ f(-x) = \frac{-x}{(-x)^2 - 2} = \frac{-x}{x^2 - 2} \]

Теперь сравним \( f(-x) \) и \( -f(x) \):

\[ -f(x) = -\frac{x}{x^2 - 2} = \frac{-x}{x^2 - 2} \]

Мы видим, что \( f(-x) = -f(x) \). Это означает, что функция \( f(x) \) является нечётной.

3. Промежутки монотонности

Для определения промежутков монотонности нужно найти производную функции и определить, где она положительна, а где отрицательна.

Используя правило частного, мы найдем производную:

\[ f'(x) = \frac{(x^2 - 2) \cdot 1 - x \cdot 2x}{(x^2 - 2)^2} \]

Упростим:

\[ f'(x) = \frac{x^2 - 2 - 2x^2}{(x^2 - 2)^2} = \frac{-x^2 - 2}{(x^2 - 2)^2} = \frac{-(x^2 + 2)}{(x^2 - 2)^2} \]

Так как \( x^2 + 2 > 0 \) для всех \( x \), знак производной зависит только от знаменателя \( (x^2 - 2)^2 \). Знак производной определяет знак фактора:

• Знак производной зависит от \( x^2 - 2 \):
  • \( x^2 - 2 > 0 \) (положительно) при \( x > \sqrt{2} \) и \( x < -\sqrt{2} \)
  • \( x^2 - 2 < 0 \) (отрицательно) при \( -\sqrt{2} < x < \sqrt{2} \)

Имеем:

• \( f'(x) < 0 \) на промежутке \( (-\sqrt{2}, \sqrt{2}) \) (функция убывает),
• \( f'(x) > 0 \) на промежутках \( (-\infty, -\sqrt{2}) \) и \( (\sqrt{2}, +\infty) \) (функция возрастает).

Ответ

1. Область определения: \( D(f) = \mathbb{R} \setminus \{-\sqrt{2}, \sqrt{2}\} \)
2. Функция нечётная.
3. Промежутки монотонности:
   • Функция возрастает на \( (-\infty, -\sqrt{2}) \) и \( (\sqrt{2}, +\infty) \)
   • Функция убывает на \( (-\sqrt{2}, \sqrt{2}) \)