для функции f(x)=x^2-9 1. Найдите промежутки, где функция положительна и отрицательна 2.Определите промежутки возрастания и убывания
Рассмотрим функцию \( f(x) = x^2 - 9 \).
- Нахождение промежутков, где функция положительна и отрицательна:
Сначала найдем нули функции, решив уравнение: \[ x^2 - 9 = 0 \] \[ x^2 = 9 \] \[ x = 3 \quad \text{и} \quad x = -3 \]
Теперь мы знаем, что функции \( f(x) \) равно нулю в точках \( x = -3 \) и \( x = 3 \). Теперь нужно определить знак функции на интервалах \( (-\infty, -3) \), \( (-3, 3) \) и \( (3, +\infty) \).
- Для \( x < -3 \), например, подставим \( x = -4 \): \[ f(-4) = (-4)^2 - 9 = 16 - 9 = 7 > 0 \]
- Для \( -3 < x < 3 \), например, подставим \( x = 0 \): \[ f(0) = 0^2 - 9 = -9 < 0 \]
- Для \( x > 3 \), например, подставим \( x = 4 \): \[ f(4) = 4^2 - 9 = 16 - 9 = 7 > 0 \]
Таким образом, функция положительна на интервалах \( (-\infty, -3) \) и \( (3, +\infty) \), а отрицательна на интервале \( (-3, 3) \).
Результат:
- \( f(x) > 0 \) на интервалах \( (-\infty, -3) \) и \( (3, +\infty) \)
- \( f(x) < 0 \) на интервале \( (-3, 3) \)
- Нахождение промежутков возрастания и убывания:
Для нахождения промежутков возрастания и убывания найдем производную функции: \[ f'(x) = 2x \]
Теперь найдём, где производная равна нулю: \[ 2x = 0 \implies x = 0 \]
Теперь определим знак производной на интервалах \( (-\infty, 0) \) и \( (0, +\infty) \):
- Для \( x < 0 \), например, \( x = -1 \): \[ f'(-1) = 2 \cdot (-1) = -2 < 0 \quad (\text{функция убывает}) \]
- Для \( x > 0 \), например, \( x = 1 \): \[ f'(1) = 2 \cdot 1 = 2 > 0 \quad (\text{функция возрастает}) \]
Таким образом, функция убывает на интервале \( (-\infty, 0) \) и возрастает на интервале \( (0, +\infty) \).
Результат:
- Функция убывает на интервале \( (-\infty, 0) \)
- Функция возрастает на интервале \( (0, +\infty) \)
