Вокруг одной из планет Солнечной системы по круговой орбите радиусом R = 9400 км обращается спутник. Период его обращения T = 7ч 40 мин. Определите массу планеты. О какой планете идет речь? 9 класс

Для определения массы планеты, вокруг которой обращается спутник, можем использовать третий закон Кеплера, который в упростённом виде записывается как: \[ T^2 = \frac{4 \pi^2 R^3}{G M} \] где: - \( T \) — период обращения спутника (в секундах), - \( R \) — радиус орбиты спутника (в метрах), - \( G \) — гравитационная постоянная (\( G \approx 6.674 \times 10^{-11} \, \text{м}^3 \, \text{кг}^{-1} \, \text{s}^{-2} \)), - \( M \) — масса планеты (в килограммах). 1. Сначала переведем период \( T \) из часов и минут в секунды: \[ T = 7 \, \text{ч} \cdot 3600 \, \text{с/ч} + 40 \, \text{мин} \cdot 60 \, \text{с/мин} = 7 \cdot 3600 + 40 \cdot 60 = 27600 + 2400 = 30000 \, \text{с} \] 2. Теперь радиус орбиты преобразуем в метры: \[ R = 9400 \, \text{км} = 9400 \times 1000 = 9.4 \times 10^6 \, \text{м} \] 3. Теперь подставим значения в формулу и найдем массу \( M \): \[ (30000)^2 = \frac{4 \pi^2 (9.4 \times 10^6)^3}{6.674 \times 10^{-11} M} \] Упрощая это уравнение: \[ 900000000 = \frac{4 \cdot \pi^2 \cdot (9.4)^3 \cdot 10^{18}}{6.674 \times 10^{-11} M} \] Теперь выделим массу \( M \): \[ M = \frac{4 \cdot \pi^2 \cdot (9.4)^3 \cdot 10^{18}}{900000000 \cdot 6.674 \times 10^{-11}} \] Теперь подставим значения: \[ M \approx \frac{4 \cdot 9.87 \cdot 827.784 \cdot 10^{18}}{900000000 \cdot 6.674 \times 10^{-11}} \] В результате вычисления получим массу планеты. 4. Для удобства можно произвести расчет на калькуляторе. После подстановки и вычислений, получится примерно \( M \approx 5.65 \times 10^{24} \) кг. Эта масса соответствует массе планеты Земля. Таким образом, период обращения спутника составляет 7 ч 40 мин, и радиус орбиты 9400 км, что указывает на то, что данный спутник может обращаться вокруг Земли.