На рисунке 65 CD=BD, ∆1=∆2. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный

Для доказательства равнобедренности треугольника \( ABC \) при условии, что \( CD = BD \) и \( \Delta_1 = \Delta_2 \), используем известные свойства равных углов и равных отрезков.

1. Из условия \( CD = BD \) следует, что треугольник \( BCD \) является изососнечным, и углы \( BDC \) и \( BCD \) равны. Обозначим их как \( \alpha \).

2. Поскольку \( \Delta_1 = \Delta_2 \), это значит, что углы \( CAB \) и \( ABC \) равны. Обозначим угол \( CAB = \beta \) и угол \( ABC = \beta \).

3. Теперь рассмотрим угол \( ACB \): \[ \angle ACB = 180^\circ - \angle CAB - \angle ABC = 180^\circ - \beta - \beta = 180^\circ - 2\beta. \]

4. В треугольнике \( ABC \) у нас есть два равных угла \( CAB \) и \( ABC \) (по \(\beta\)), что указывает на то, что стороны, противолежащие этим углам, равны: \[ AC = AB. \]

Таким образом, треугольник \( ABC \) является равнобедренным, так как у него есть две равные стороны \( AC \) и \( AB \).

Таким образом, мы доказали, что треугольник \( ABC \) равнобедренный.