Для натуральных чисел ( a ) и ( b ), где ( a > b ) и ( a ) и ( b ) взаимно простые, найдем наибольший общий делитель чисел ( a + b ) и ( a - b ).
Обозначим:
[
d = \gcd(a + b, a - b).
]
Согласно свойству делимости, мы можем выразить ( d ) через линейные комбинации ( a + b ) и ( a - b ):
[
d = \gcd(a + b, a - b) = \gcd(a + b, (a - b) + (a + b)) = \gcd(a + b, 2a).
]
Также можем использовать еще одно свойство:
[
d = \gcd(a + b, (a + b) - (a - b)) = \gcd(a + b, 2b).
]
Теперь получаем:
[
d = \gcd(a + b, 2a) = \gcd(a + b, 2b).
]
Так как ( a ) и ( b ) взаимно просты (( \gcd(a, b) = 1 )), это значит, что ( a ) и ( b ) не имеют общих больших делителей, чем 1.
Теперь по свойству делимости:
- Число ( a + b ) делится на 2, если оба ( a ) и ( b ) имеют одинаковый четный или нечетный параитет. Если они разной четности, тогда можно показать, что ( d ) делится на 1, поскольку они не могут делиться больше, чем 1.
Таким образом, наибольший общий делитель ( a + b ) и ( a - b ) будет равен 1.
Итак, ответ:
[
\gcd(a + b, a - b) = 1.
]
