Сила тяжести (гравитация) на высоте ( h ) над поверхностью Земли описывается формулой:
[
g_h = \frac{g_0}{(1 + \frac{h}{R})^2}
]
где:
- ( g_h ) — сила тяжести на высоте ( h ),
- ( g_0 ) — сила тяжести на поверхности Земли (примерно ( 9.81 , \text{м/с}^2 )),
- ( R ) — радиус Земли (примерно ( 6371 , \text{км} )).
Если мы хотим найти высоту ( h ), при которой сила тяжести в два раза меньше, чем на поверхности, то должно выполняться:
[
g_h = \frac{g_0}{2}
]
Подставляем это в уравнение:
[
\frac{g_0}{(1 + \frac{h}{R})^2} = \frac{g_0}{2}
]
Сокращаем ( g_0 ) (предполагая, что ( g_0 ) не равно нулю):
[
\frac{1}{(1 + \frac{h}{R})^2} = \frac{1}{2}
]
Теперь берем обратное:
[
(1 + \frac{h}{R})^2 = 2
]
Теперь извлекаем квадратный корень:
[
1 + \frac{h}{R} = \sqrt{2}
]
Вычитаем 1:
[
\frac{h}{R} = \sqrt{2} - 1
]
Теперь умножаем обе стороны на ( R ):
[
h = R(\sqrt{2} - 1)
]
Подставляем значение радиуса Земли ( R \approx 6371 , \text{км} ):
[
h \approx 6371 \times (\sqrt{2} - 1) \approx 6371 \times (1.414 - 1) \approx 6371 \times 0.414 \approx 2635 , \text{км}
]
Таким образом, высота, на которой сила тяготения в два раза меньше, чем на поверхности Земли, составляет примерно 2635 километров.
