На сторонах АВ и АС треугольника АВС отмечены точки МиN соответственно. Известно, что AM: AB = 3:7 и AN: AC 3: 5. Найдите площадь = треугольника АВС, если площадь треугольника АММ…

Для решения задачи сначала введем обозначения:

• Площадь треугольника \( ABC \) — \( S_{ABC} \).
• Площадь треугольника \( AMN \) — \( S_{AMN} = 18 \).

Находим площади треугольников \( AMB \) и \( ANC \).

Сначала найдем отношение площадей треугольника \( AMN \) и треугольника \( ABC \). Известно, что:

\[ \frac{AM}{AB} = \frac{3}{7} \Rightarrow \frac{S_{AMN}}{S_{ABC}} = \frac{AM}{AB} \cdot \frac{AN}{AC} \]

Аналогично:

\[ \frac{AN}{AC} = \frac{3}{5} \]

Следовательно:

\[ \frac{S_{AMN}}{S_{ABC}} = \frac{3}{7} \cdot \frac{3}{5} = \frac{9}{35} \]

Теперь найдем \( S_{ABC} \):

\[ S_{AMN} = \frac{9}{35} S_{ABC} \]

Подставим известное значение площади \( S_{AMN} = 18 \):

\[ 18 = \frac{9}{35} S_{ABC} \]

Решая это уравнение на \( S_{ABC} \):

\[ S_{ABC} = 18 \cdot \frac{35}{9} = 70 \]

Таким образом, площадь треугольника \( ABC \) равна \( 70 \).