решить
Решим уравнения по порядку:
- \( x^4 - 29x^2 + 100 = 0 \)
Положим \( y = x^2 \). Тогда уравнение примет вид:
\( y^2 - 29y + 100 = 0 \)
Решим это квадратное уравнение. Дискриминант:
\[ D = 29^2 - 4 \cdot 1 \cdot 100 = 841 - 400 = 441 \]
Корни уравнения:
\[ y_{1,2} = \frac{29 \pm \sqrt{441}}{2} = \frac{29 \pm 21}{2} \]
\[ y_1 = \frac{50}{2} = 25, \quad y_2 = \frac{8}{2} = 4 \]
Теперь решим уравнения \( x^2 = 25 \) и \( x^2 = 4 \):
\( x^2 = 25 \) ⇒ \( x = \pm 5 \)
\( x^2 = 4 \) ⇒ \( x = \pm 2 \)
Итак, корни уравнения: \( x = \pm 5, \pm 2 \).
- \( x^4 - 2x^2 - 24 = 0 \)
Положим \( y = x^2 \). Тогда уравнение примет вид:
\( y^2 - 2y - 24 = 0 \)
Дискриминант:
\[ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100 \]
Корни уравнения:
\[ y_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{2 \pm 10}{2} \]
\[ y_1 = \frac{12}{2} = 6, \quad y_2 = \frac{-8}{2} = -4 \]
Уравнение \( x^2 = 6 \) имеет решения \( x = \pm \sqrt{6} \).
Так как \( y_2 = -4 \) не имеет вещественных решений, то учитываем только \( x = \pm \sqrt{6} \).
- \( x^4 - 16x^2 + 63 = 0 \)
Положим \( y = x^2 \). Тогда уравнение примет вид:
\( y^2 - 16y + 63 = 0 \)
Дискриминант:
\[ D = 16^2 - 4 \cdot 1 \cdot 63 = 256 - 252 = 4 \]
Корни уравнения:
\[ y_{1,2} = \frac{16 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{16 \pm 2}{2} \]
\[ y_1 = \frac{18}{2} = 9, \quad y_2 = \frac{14}{2} = 7 \]
Решим \( x^2 = 9 \): \( x = \pm 3 \)
Решим \( x^2 = 7 \): \( x = \pm \sqrt{7} \)
Корни уравнения: \( x = \pm 3, \pm \sqrt{7} \).
- \( x^4 - 81 = 0 \)
Запишем как:
\( (x^2)^2 - 81 = 0 \) ⇒ \( (x^2 - 9)(x^2 + 9) = 0 \)
Уравнение \( x^2 - 9 = 0 \) имеет решения \( x = \pm 3 \).
Уравнение \( x^2 + 9 = 0 \) не имеет вещественных решений.
Поэтому вещественные корни: \( x = \pm 3 \).
- \( x^2 + 5x - 24 = 0 \)
Дискриминант:
\[ D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121 \]
Корни уравнения:
\[ x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{121}}{2} = \frac{-5 \pm 11}{2} \]
\[ x_1 = \frac{6}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{-16}{2} = -8 \]
Корни уравнения: \( x = 3, -8 \).
Задача на производство: Рабочий ежедневно изготавливает по 15 деталей. Ему осталось изготовить 30 деталей, а до конца работы 5 дней.
За 5 дней он изготовит \( 15 \times 5 = 75 \) деталей.
Всего ему нужно было изготовить \( 75 + 30 = 105 \) деталей.
Задача про класс: В точности \( 95.5\% \) от не менее 2 учеников учатся на "отлично". Минимальное число учеников, удовлетворяющее этому условию: 21 (так как \( \frac{19}{20} = 95\% \), а 95.5% получается при увеличении числа).
Таким образом, в классе может быть не меньше 21 ученика.
