Для решения системы уравнений методом подстановки, сначала выразим одну переменную через другую. У нас есть два уравнения:
- ( x + y = 5 )
- ( xy = 6 )
Из первого уравнения выразим ( y ):
[
y = 5 - x
]
Теперь подставим это выражение для ( y ) во второе уравнение:
[
x(5 - x) = 6
]
Раскроем скобки:
[
5x - x^2 = 6
]
Перепишем уравнение:
[
-x^2 + 5x - 6 = 0
]
Умножим обе стороны на -1 для удобства:
[
x^2 - 5x + 6 = 0
]
Теперь решим квадратное уравнение. Мы можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
где ( a = 1 ), ( b = -5 ), ( c = 6 ).
Подставляем значения:
[
x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}
]
[
x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}
]
[
x = \frac{5 \pm 1}{2}
]
Теперь найдем два значения для ( x ):
- ( x_1 = \frac{6}{2} = 3 )
- ( x_2 = \frac{4}{2} = 2 )
Теперь подставим найденные значения ( x ) обратно в уравнение ( y = 5 - x ):
Для ( x_1 = 3 ):
[
y_1 = 5 - 3 = 2
]
Для ( x_2 = 2 ):
[
y_2 = 5 - 2 = 3
]
Таким образом, мы получили два решения для системы:
- ( (x, y) = (3, 2) )
- ( (x, y) = (2, 3) )
