Монету бросают 13 раз. С какой вероятностью орлов выпадет больше, чем решек?

Для решения задачи о вероятности выпадения большего количества орлов, чем решек, при 13 бросках монеты, воспользуемся концепцией вероятностного распределения.

1. Определим количество орлов: Пусть \( X \) — количество орлов, выпавших при 13 бросках монеты. Поскольку монета симметрична, \( X \) следует биномиальному распределению: \( X \sim B(13, 0.5) \).

2. Вычислим необходимое условие: Нам нужно найти вероятность того, что орлов больше, чем решек. В условиях нашей задачи это означает, что \( X > 6 \) (поскольку в 13 бросках 6 орлов и 7 решек, 5 орлов и 8 решек и т.д.).

3. Воспользуемся симметрией: Поскольку вероятность выпадения орла и решки одинакова, можно воспользоваться симметрией биномиального распределения. Вероятность того, что орлов больше, чем решек, равна вероятности того, что решек больше, чем орлов. Также у нас есть 1 из 13 случаев, когда выпадает точно равное количество (6 орлов и 7 решек).

4. Сформируем итоговую вероятность: Таким образом, вероятность того, что количество орлов больше чем количество решек, может быть записана следующим образом:

   \[ P(X > 6) = \frac{1}{2} - P(X = 6) \cdot \frac{1}{2} \]

   Однако, чтобы получить \( P(X = 6) \), воспользуемся формулой биномиального распределения:

   \[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \]

   где \( n = 13 \), \( k = 6 \) и \( p = 0.5 \):

   \[ P(X = 6) = \binom{13}{6} \left(0.5\right)^6 \left(0.5\right)^{7} = \binom{13}{6} \left(0.5\right)^{13} \]

   Коэффициент \( \binom{13}{6} = 1716 \). Следовательно:

   \[ P(X = 6) = 1716 \cdot \left(0.5\right)^{13} = 1716 \cdot \frac{1}{8192} \approx 0.209 \]

   Теперь подставим значение \( P(X = 6) \) в первоначальную формулу:

   \[ P(X > 6) = \frac{1}{2} - \frac{P(X = 6)}{2} \approx \frac{1}{2} - \frac{0.209}{2} = 0.5 - 0.1045 \approx 0.3955 \]

5. Ответ: Вероятность того, что орлов выпадет больше, чем решек, составляет примерно 0.3955 или 39.55%.