Произведение двух последовательных натуральных чисел больше их суммы на 109.Найдите эти числа

Обозначим два последовательных натуральных числа как \( n \) и \( n + 1 \).

Согласно условию, их произведение больше их суммы на 109:

\[ n(n + 1) = n + (n + 1) + 109 \]

Упростим правую часть уравнения:

\[ n(n + 1) = 2n + 1 + 109 \]

Таким образом, у нас получается:

\[ n(n + 1) = 2n + 110 \]

Теперь перенесем все на одну сторону уравнения:

\[ n^2 + n - 2n - 110 = 0 \]

Упростим уравнение:

\[ n^2 - n - 110 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-110) = 1 + 440 = 441 \]

Теперь найдем корни уравнения:

\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{441}}{2} \]

Так как \(\sqrt{441} = 21\), получим:

\[ n = \frac{1 + 21}{2} = \frac{22}{2} = 11 \] или \[ n = \frac{1 - 21}{2} = \frac{-20}{2} = -10 \]

Поскольку \( n \) должно быть натуральным числом, принимаем \( n = 11 \).

Таким образом, два последовательных натуральных числа — это \( 11 \) и \( 12 \).

Ответ: 11 и 12.