Катет прямоугольного треугольника равен 6, а медиана, проведенная к этому катету, равна 3v22. Найдите гипотенузу этого треугольника. В ответ запишите только число.

Обозначим катеты прямоугольного треугольника как \( a \) и \( b \), где \( a = 6 \) (данный катет), а \( m \) - медиана, проведенная к катету \( a \). Известно, что \( m = \frac{1}{2} \sqrt{2b^2 + 2a^2 - c^2} \), где \( c \) - гипотенуза.

По формуле для медианы, проведенной к катету, имеем:

\[ m = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2} \]

Для данного случая:

\[ m = 3\sqrt{22} \] \[ a = 6 \]

Тогда подставим \( a \):

\[ 3\sqrt{22} = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 6^2 + 2b^2 - c^2} \]

Упростим это уравнение:

\[ 6\sqrt{22} = \sqrt{72 + 2b^2 - c^2} \]

Квадрат обеих сторон:

\[ 36 \cdot 22 = 72 + 2b^2 - c^2 \] \[ 792 = 72 + 2b^2 - c^2 \] \[ 2b^2 - c^2 = 720 \]

Используя теорему Пифагора, имеем:

\[ c^2 = a^2 + b^2 = 6^2 + b^2 = 36 + b^2 \]

Теперь подставим это значение в уравнение \( 2b^2 - c^2 = 720 \):

\[ 2b^2 - (36 + b^2) = 720 \] \[ 2b^2 - 36 - b^2 = 720 \] \[ b^2 - 36 = 720 \] \[ b^2 = 756 \]

Теперь найдем гипотенузу \( c \):

\[ c^2 = 36 + 756 = 792 \] \[ c = \sqrt{792} \]

Упростим \( \sqrt{792} \):

\[ 792 = 4 \cdot 198 = 4 \cdot 9 \cdot 22 = 36 \cdot 22 \] \[ \sqrt{792} = 6\sqrt{22} \]

Ответ:

6\sqrt{22} = 6√22.

Гипотенуза этого треугольника равна: 6.