Обозначим катеты прямоугольного треугольника как ( a ) и ( b ), где ( a = 6 ) (данный катет), а ( m ) - медиана, проведенная к катету ( a ). Известно, что ( m = \frac{1}{2} \sqrt{2b^2 + 2a^2 - c^2} ), где ( c ) - гипотенуза.
По формуле для медианы, проведенной к катету, имеем:
[
m = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}
]
Для данного случая:
[
m = 3\sqrt{22}
]
[
a = 6
]
Тогда подставим ( a ):
[
3\sqrt{22} = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 6^2 + 2b^2 - c^2}
]
Упростим это уравнение:
[
6\sqrt{22} = \sqrt{72 + 2b^2 - c^2}
]
Квадрат обеих сторон:
[
36 \cdot 22 = 72 + 2b^2 - c^2
]
[
792 = 72 + 2b^2 - c^2
]
[
2b^2 - c^2 = 720
]
Используя теорему Пифагора, имеем:
[
c^2 = a^2 + b^2 = 6^2 + b^2 = 36 + b^2
]
Теперь подставим это значение в уравнение ( 2b^2 - c^2 = 720 ):
[
2b^2 - (36 + b^2) = 720
]
[
2b^2 - 36 - b^2 = 720
]
[
b^2 - 36 = 720
]
[
b^2 = 756
]
Теперь найдем гипотенузу ( c ):
[
c^2 = 36 + 756 = 792
]
[
c = \sqrt{792}
]
Упростим ( \sqrt{792} ):
[
792 = 4 \cdot 198 = 4 \cdot 9 \cdot 22 = 36 \cdot 22
]
[
\sqrt{792} = 6\sqrt{22}
]
Ответ:
6\sqrt{22} = 6√22.
Гипотенуза этого треугольника равна: 6.
