Для решения задачи используем формулу для медианы в прямоугольном треугольнике. Если обозначим катеты как ( a ) и ( b ) (где ( a = 6 )), а медиану, проведённую к катету ( a ), обозначим как ( m_a ), то формула для медианы выглядит так:
[
m_a = \frac{1}{2} \sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}
]
где ( c ) — гипотенуза.
Подставляя известные значения, получим:
[
3 \sqrt{22} = \frac{1}{2} \sqrt{2b^2 + 2c^2 - 6^2}
]
Умножим обе стороны на 2:
[
6 \sqrt{22} = \sqrt{2b^2 + 2c^2 - 36}
]
Теперь возведем обе стороны в квадрат:
[
(6 \sqrt{22})^2 = 2b^2 + 2c^2 - 36
]
[
216 = 2b^2 + 2c^2 - 36
]
Добавим 36 к обеим сторонам:
[
252 = 2b^2 + 2c^2
]
Разделим на 2:
[
126 = b^2 + c^2
]
В прямоугольном треугольнике также верно, что ( c^2 = a^2 + b^2 ). Подставим ( a = 6 ):
[
c^2 = 6^2 + b^2
]
Подставим ( b^2 = 126 - c^2 ) в это уравнение:
[
c^2 = 36 + (126 - c^2)
]
Соберём всё в одну сторону:
[
c^2 + c^2 = 36 + 126
]
[
2c^2 = 162
]
Разделим на 2:
[
c^2 = 81
]
Следовательно:
[
c = 9
]
Таким образом, гипотенуза данного треугольника равна 9.
Ответ: 9
