Дневная добыча угля в некоторой шахте распределена по нормальному закону с математическим ожиданием 870 тонн и стандартным отклонением 90 тонн. Найдите вероятность того, что в…
Дневная добыча угля в некоторой шахте распределена по нормальному закону с математическим ожиданием 870 тонн и стандартным отклонением 90 тонн. Найдите вероятность того, что в определенный день будут добыты по крайней мере 900 тонн угля. Полученный ответ округлите до тысячных.
Для решения этой задачи мы воспользуемся свойствами нормального распределения.
Дадим обозначения:
- \( \mu = 870 \) (математическое ожидание),
- \( \sigma = 90 \) (стандартное отклонение).
Нам необходимо найти вероятность того, что добыча угля в определенный день составит не менее 900 тонн, то есть \( P(X \geq 900) \).
Сначала преобразуем эту вероятность в стандартное нормальное распределение. Для этого рассчитываем \( z \)-значение:
\[ z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{900 - 870}{90} = \frac{30}{90} = \frac{1}{3} \approx 0.3333. \]
Теперь мы можем обратиться к таблице значений стандартного нормального распределения или использовать калькулятор. Нам интересна вероятность \( P(X \geq 900) \), которая равна \( 1 - P(Z < z) \).
Сначала найдем \( P(Z < 0.3333) \). В таблице стандартного нормального распределения или с помощью калькулятора это значение примерно равно \( 0.6293 \).
Теперь вычислим:
\[ P(X \geq 900) = 1 - P(Z < 0.3333) \approx 1 - 0.6293 = 0.3707. \]
Таким образом, вероятность того, что в определенный день будут добыты по крайней мере 900 тонн угля, составляет примерно \( 0.371 \) (округлено до тысячных).
