Давайте сначала обозначим некоторые векторы:
Пусть (\vec{A}), (\vec{B}), (\vec{C}), (\vec{D}) – векторы, соответствующие вершинам трапеции (A), (B), (C), (D) соответственно.
Также обозначим вектор точки (M) на отрезке (AC). Если (M) делит отрезок (AC) в отношении (AM:MC = 2:3), то можно представить положение вектора (M) как:
[
\vec{M} = \frac{3\vec{A} + 2\vec{C}}{5}
]
Теперь разложим вектор (\vec{AM}) по векторам (\vec{a} = \vec{AB}) и (\vec{b} = \vec{CB}).
Вектор ( \vec{AM} = \vec{M} - \vec{A} ):
[
\vec{AM} = \left(\frac{3\vec{A} + 2\vec{C}}{5}\right) - \vec{A} = \frac{3\vec{A} + 2\vec{C} - 5\vec{A}}{5} = \frac{-2\vec{A} + 2\vec{C}}{5} = \frac{2(\vec{C} - \vec{A})}{5}
]
Теперь выразим вектора ( \vec{AB} ) и ( \vec{CB} ):
[
\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A}
]
[
\vec{CB} = \vec{B} - \vec{C}
]
Выразим ( \vec{AM} ) через ( \vec{a} ) и ( \vec{b} ):
Вектор ( \vec{C} - \vec{A} ) можно выразить через ( \vec{a} ) и ( \vec{b} ). Заметим, что ( \vec{C} = \vec{B} + \vec{b} ). Пусть это будет преобразовано.
Кроме того, у нас есть:
[
\vec{C} - \vec{A} = \vec{B} - \vec{A} + \vec{B} - \vec{C} = \vec{a} + (-\vec{b}) = \vec{a} + \vec{B} - \vec{C}
]
Таким образом, мы можем записать
[
\vec{AM} = \frac{2(\vec{C} - \vec{A})}{5} = \frac{2}{5}(\vec{a} + \vec{b}) = x \vec{a} + y \vec{b}
]
Приравнивая коэффициенты, легко заключить, что:
[
x = \frac{2}{5}, \quad y = \frac{2}{5}
]
Теперь нам нужно найти произведение коэффициентов:
[
xy = \left(\frac{2}{5}\right) \cdot \left(\frac{2}{5}\right) = \frac{4}{25}
]
Таким образом, конечный ответ:
[
\frac{4}{25}
]
