Решить
- Основания трапеции равны 7 см и 15 см. Найдите отрезки диагонали, на которые её делит вторая диагональ, если разность этих отрезков равна 24 см.
Решение:
Пусть диагонали пересекаются в точке \(O\). Обозначим отрезки, на которые делится одна из диагоналей, как \(x\) и \(y\), где \(x > y\), согласно условию \(x - y = 24\).
Свойство трапеции: отрезки диагонали, на которые её делит другая диагональ, пропорциональны основаниям трапеции.
\[ \frac{x}{y} = \frac{15}{7} \]
Из пропорции следует, что \(x = \frac{15}{7} y\).
У нас есть две системы уравнений:
- \(x - y = 24\)
- \(x = \frac{15}{7} y\)
Подставим второе уравнение в первое:
\[ \frac{15}{7} y - y = 24 \]
\[ \frac{15y - 7y}{7} = 24 \]
\[ \frac{8y}{7} = 24 \]
\[ 8y = 168 \]
\[ y = 21 \]
Теперь найдём \(x\):
\[ x = \frac{15}{7} \times 21 = 45 \]
Таким образом, отрезки равны \(x = 45\) см и \(y = 21\) см.
- В треугольнике \(\triangle ABC\) медианы \(AE\) и \(CD\) пересекаются в точке \(O\). Если \(AE = 9\), \(CD = 12\), \(AC = 10\). Найдите площадь треугольника \(\triangle ABC\).
По свойству медиан точка пересечения делит каждую из них в отношении 2:1. Поэтому:
\[ AO = \frac{2}{3} \times 9 = 6 \] \[ DO = \frac{2}{3} \times 12 = 8 \]
Площадь треугольника с медианами \(m_a\), \(m_b\), \(m_c\) определяется по формуле:
\[ S = \frac{4}{3} \sqrt{s(s - m_a)(s - m_b)(s - m_c)} \]
где \(s = \frac{m_a + m_b + m_c}{2}\).
Подставим значения:
\[ m_a = 9, \quad m_b = 12, \quad m_c = 10 \]
\[ s = \frac{9 + 12 + 10}{2} = 15.5 \]
Итак, площадь:
\[ S = \frac{4}{3} \sqrt{15.5 (15.5 - 9)(15.5 - 12)(15.5 - 10)} \]
\[ S = \frac{4}{3} \sqrt{15.5 \times 6.5 \times 3.5 \times 5.5} \]
Вычислите это значение, чтобы получить площадь треугольника \(\triangle ABC\).
