Докажите, что при любом натуральном значении переменной x выражение (4x+1)²-(4x-3)² кратно 8

Для начала упростим выражение \((4x+1)^2 - (4x-3)^2\) с использованием формулы разности квадратов:

\[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b), \]

где \(a = 4x + 1\) и \(b = 4x - 3\).

Теперь подставим значения \(a\) и \(b\):

\[ (4x + 1) - (4x - 3) = 4, \] \[ (4x + 1) + (4x - 3) = 8x - 2. \]

Следовательно, мы имеем:

\[ (4x + 1)^2 - (4x - 3)^2 = 4(8x - 2). \]

Теперь упростим выражение:

\[ 4(8x - 2) = 32x - 8. \]

Обратим внимание, что \(32x - 8\) можно записать как:

\[ 32x - 8 = 8(4x - 1). \]

Таким образом, мы видим, что \(32x - 8\) делится на 8, поскольку оно представлено в виде произведения 8 и целого числа \((4x - 1)\).

Это показывает, что выражение \((4x + 1)^2 - (4x - 3)^2\) кратно 8 для любого натурального значения переменной \(x\).

Следовательно, мы доказали, что выражение \((4x+1)^2-(4x-3)^2\) кратно 8 при любом натуральном \(x\).