Для доказательства этого утверждения воспользуемся принципом Дирихле.
Пусть у нас есть 10 друзей, обозначим их как ( A_1, A_2, \ldots, A_{10} ). Каждый из них отправил открытки ровно пяти друзьям. Это значит, что каждый из ( A_i ) выбирает 5 друзей из оставшихся 9 (поскольку каждый не может отправить открытку самому себе).
Теперь, давайте рассмотрим количество возможных друзей, которым отправляется открытка. Каждый из 10 друзей отправил открытки, и у каждого есть 5 выборов. Мы можем представить ситуацию как граф, где вершины — это наши друзья, а ребра — открытки, отправленные между ними.
Если один друг ( A_i ) отправляет открытки, например, ( A_1, A_2, A_3, A_4, A_5 ), значит, он или она не отправляет открытки ( A_6, A_7, A_8, A_9, A_{10} ). Таким образом, у нас есть 5 "пустых мест", среди которых могут находиться друзья.
Поскольку каждый отправляет открытки 5 друзьям из 10, и в группе всего 10 человек, то, по принципу Дирихле, если 10 друзей выбирают по 5, по крайней мере один из 5 выбранных должен быть общим для двух различных друзей.
Это означает, что по крайней мере существуют два друга, скажем ( A_i ) и ( A_j ), которые оба отправили открытки друг другу. Таким образом, мы приходим к выводу, что найдутся как минимум два друга, которые отправили открытки друг другу.
Таким образом, утверждение доказано.
