десять друзей отправили друг другу открытки при этом каждый отправил открытки ровно пяти своим друзьям докажите что найдутся двое отправившие открытки друг другу

Для доказательства этого утверждения воспользуемся принципом Дирихле.

Пусть у нас есть 10 друзей, обозначим их как \( A_1, A_2, \ldots, A_{10} \). Каждый из них отправил открытки ровно пяти друзьям. Это значит, что каждый из \( A_i \) выбирает 5 друзей из оставшихся 9 (поскольку каждый не может отправить открытку самому себе).

Теперь, давайте рассмотрим количество возможных друзей, которым отправляется открытка. Каждый из 10 друзей отправил открытки, и у каждого есть 5 выборов. Мы можем представить ситуацию как граф, где вершины — это наши друзья, а ребра — открытки, отправленные между ними.

Если один друг \( A_i \) отправляет открытки, например, \( A_1, A_2, A_3, A_4, A_5 \), значит, он или она не отправляет открытки \( A_6, A_7, A_8, A_9, A_{10} \). Таким образом, у нас есть 5 "пустых мест", среди которых могут находиться друзья.

Поскольку каждый отправляет открытки 5 друзьям из 10, и в группе всего 10 человек, то, по принципу Дирихле, если 10 друзей выбирают по 5, по крайней мере один из 5 выбранных должен быть общим для двух различных друзей.

Это означает, что по крайней мере существуют два друга, скажем \( A_i \) и \( A_j \), которые оба отправили открытки друг другу. Таким образом, мы приходим к выводу, что найдутся как минимум два друга, которые отправили открытки друг другу.

Таким образом, утверждение доказано.