С какой начальной скоростью ро надо бросить вниз мяч с высо- ты h=15 м, чтобы он подпрыгнул на высоту 2h. ? Считать удар о землю абсолютно упругим.
Чтобы мяч поднялся на высоту \(2h\) после удара о землю, мы можем использовать закон сохранения энергии.
Определим потенциальную энергию на высоте \(2h\):
Потенциальная энергия (ПЭ) на высоте \(2h\) равна: \[ PE = m \cdot g \cdot 2h \] (где \(m\) — масса мяча, \(g\) — ускорение свободного падения, \(h=15\,м\)).
Определим потенциальную энергию на высоте \(h\):
Потенциальная энергия (ПЭ) на высоте \(h\) равна: \[ PE_h = m \cdot g \cdot h \]
Кинетическая энергия в момент броска:
Когда мяч падает с высоты \(h\), он приобретает кинетическую энергию, равную: \[ KE = \frac{1}{2} m v^2 \] где \(v\) — скорость мяча в момент удара о землю.
Равновесие энергий:
Закон сохранения энергии гласит, что суммарная механическая энергия в момент броска должна быть равна суммарной механической энергии в момент, когда мяч подскакивает на высоту \(2h\):
Начальная энергия в момент броска (потенциальная) должна быть равна сумме кинетической энергии в момент удара о землю и потенциальной энергии на высоте \(2h\): \[ m \cdot g \cdot h + \frac{1}{2} m v_0^2 = m \cdot g \cdot 2h \]
Упростим уравнение, сократив \(m\): \[ g \cdot h + \frac{1}{2} v_0^2 = g \cdot 2h \]
Переносим все к одному уравнению: \[ \frac{1}{2} v_0^2 = g \cdot 2h - g \cdot h \] \[ \frac{1}{2} v_0^2 = g \cdot h \]
Решим уравнение для нахождения скорости: \[ v_0^2 = 2gh \] \[ v_0 = \sqrt{2gh} \]
Подставим полученные значения:
С учетом \(g \approx 9.81 \, \text{м/с}^2\) и \(h = 15 \, \text{м}\): \[ v_0 = \sqrt{2 \cdot 9.81 \cdot 15} \approx \sqrt{294.3} \approx 17.2 \, \text{м/с} \]
Таким образом, начальная скорость, с которой надо бросить мяч вниз, составляет примерно \(17.2 \, \text{м/с}\).
