Вариант 1 1. Решите систему уравнений (х-2y = 1, xy + y = 12. 2. Одна из сторон прямоугольника на 7 см больше другой, а его диагональ равна 13 см. Найдите стороны прямоугольника.…
Вариант 1 1. Решите систему уравнений (х-2y = 1, xy + y = 12. 2. Одна из сторон прямоугольника на 7 см больше другой, а его диагональ равна 13 см. Найдите стороны прямоугольника. 3. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения окружности х²+у2=5 и прямой x+3y=7. 4. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств x²+y²≤9, y-x≤1 5. Решите систему уравнений 1/х- -1/y = 1/6, 15x-y=9.
Давайте по очереди решим предложенные задачи.
1. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} x - 2y = 1 \\ xy + y = 12 \end{cases} \]
Из первого уравнения выразим \(x\): \[ x = 1 + 2y. \]
Подставим это выражение во второе уравнение: \[ (1 + 2y)y + y = 12. \]
Преобразуем: \[ y + 2y^2 + y = 12 \implies 2y^2 + 2y - 12 = 0 \implies y^2 + y - 6 = 0. \]
Разложим квадратное уравнение: \[ (y - 2)(y + 3) = 0. \]
Таким образом, \(y = 2\) или \(y = -3\).
Подставим значение \(y\) обратно в выражение для \(x\):
Если \(y = 2\): \[ x = 1 + 2 \cdot 2 = 5. \]
Если \(y = -3\): \[ x = 1 + 2 \cdot (-3) = -5. \]
Ответ: \( (5, 2) \) и \( (-5, -3) \).
2. Найдите стороны прямоугольника, одна из сторон на 7 см больше другой, а его диагональ равна 13 см.
Обозначим меньшую сторону прямоугольника как \(x\). Тогда большая сторона будет \(x + 7\).
Используем теорему Пифагора: \[ x^2 + (x + 7)^2 = 13^2. \]
Раскроем скобки: \[ x^2 + (x^2 + 14x + 49) = 169, \] \[ 2x^2 + 14x + 49 = 169. \] Переносим 169 в левую часть: \[ 2x^2 + 14x - 120 = 0. \] Делим уравнение на 2: \[ x^2 + 7x - 60 = 0. \]
Разложим квадратное уравнение: \[ (x - 5)(x + 12) = 0. \]
Таким образом, \(x = 5\) (допустимое значение) или \(x = -12\) (не имеет физического смысла).
Больше сторона: \[ x + 7 = 5 + 7 = 12. \]
Ответ: стороны прямоугольника 5 см и 12 см.
3. Найдите координаты точек пересечения окружности \(x^2 + y^2 = 5\) и прямой \(x + 3y = 7\).
Выразим \(x\) из уравнения прямой: \[ x = 7 - 3y. \]
Подставим в уравнение окружности: \[ (7 - 3y)^2 + y^2 = 5. \]
Раскроем квадрат и упростим: \[ 49 - 42y + 9y^2 + y^2 = 5, \] \[ 10y^2 - 42y + 44 = 0. \]
Упростим: \[ 5y^2 - 21y + 22 = 0. \]
Найдем дискриминант: \[ D = (-21)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 22 = 441 - 440 = 1. \]
Находим корни: \[ y = \frac{21 \pm 1}{2 \cdot 5} = \frac{22}{10} = 2.2 \quad \text{и} \quad y = \frac{20}{10} = 2. \]
Подставим эти значения обратно в уравнение прямой для нахождения \(x\):
Если \(y = 2.2\): \[ x = 7 - 3(2.2) = 0.4. \]
Если \(y = 2\): \[ x = 7 - 3(2) = 1. \]
Ответ: точки пересечения: \((0.4, 2.2)\) и \((1, 2)\).
4. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств: \(x^2 + y^2 \leq 9\), \(y - x \leq 1\).
- \(x^2 + y^2 \leq 9\) представляет собой окружность радиусом 3 с центром в начале координат.
- \(y - x \leq 1\) — это область ниже прямой \(y = x + 1\).
На графике вы будете измерять область внутри или на границе окружности и ниже прямой.
5. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \\ 15x - y = 9 \end{cases} \]
Из первого уравнения выразим \(y\): \[ \frac{1}{x} - \frac{1}{6} = \frac{1}{y} \implies y = \frac{6x}{6x - 1}. \]
Подставим это в второе уравнение: \[ 15x - \frac{6x}{6x - 1} = 9. \]
Умножим на \(6x - 1\): \[ 15x(6x - 1) - 6x = 9(6x - 1). \] Раскроем скобки и упростим: \[ 90x^2 - 15x - 6x = 54x - 9 \implies 90x^2 - 75x + 9 = 0. \]
Разложите (при необходимости) или используйте формулу решения квадратного уравнения.
Ответ: корни \(x\) и следовательно \(y\) можно найти с помощью формулы: \[ D = b^2 - 4ac = (-75)^2 - 4 \cdot 90 \cdot 9 = 5625 - 3240 = 2385. \] Далее, найдем \(x\) и \(y\).
Если вам нужна дополнительная помощь для конкретного шага решения любой из задач, дайте знать!
