Для решения этой задачи мы можем использовать биномиальное распределение, где вероятность успеха (в данном случае, бракованной лампочки) равна ( p = 0.05 ) (5%), а вероятность неуспеха ( q = 1 - p = 0.95 ) (95%).
а) Найдем вероятность того, что только первая вкрученная лампочка окажется бракованной. Это означает, что первая лампочка бракованная, а две остальные должны быть исправными.
Вероятность того, что первая лампочка бракованная и две остальные исправные, можно найти как:
[
P(\text{1 бракованная, 2 исправные}) = P(\text{бракованная}) \times P(\text{исправная})^2
]
Подставим значения:
[
P(\text{бракованная}) = 0.05
]
[
P(\text{исправная}) = 0.95
]
Тогда:
[
P(\text{1 бракованная, 2 исправные}) = 0.05 \times (0.95)^2
]
[
= 0.05 \times 0.9025 = 0.045125
]
Таким образом, вероятность того, что только первая лампочка окажется бракованной, составляет ( 0.045125 ) (или около 4.51%).
б) Теперь найдем вероятность того, что ровно две из трех лампочек окажутся бракованными. Для этого используем биномиальную формулу:
[
P(X = k) = C(n, k) \times p^k \times (1 - p)^{n-k}
]
где:
- ( C(n, k) ) — биномиальный коэффициент (количество способов выбрать ( k ) успешных исходов из ( n )),
- ( n = 3 ) — общее количество лампочек,
- ( k = 2 ) — количество бракованных лампочек,
- ( p = 0.05 ) — вероятность бракованной лампочки,
- ( (1 - p) = 0.95 ) — вероятность исправной лампочки.
Сначала найдем биномиальный коэффициент:
[
C(3, 2) = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(1)} = 3
]
Теперь можем подставить все значения в формулу:
[
P(X = 2) = C(3, 2) \times (0.05)^2 \times (0.95)^{3-2}
]
[
= 3 \times (0.05)^2 \times (0.95)^1
]
[
= 3 \times 0.0025 \times 0.95
]
[
= 3 \times 0.002375 = 0.007125
]
Таким образом, вероятность того, что ровно две из трех лампочек окажутся бракованными, составляет ( 0.007125 ) (или около 0.71%).
