Марфа Васильевна купила новую люстру в гостиную и три лампочки. В среднем 5% лампочек браковонные. Найси вероятность того, что: а) только первая вкрученная лампочка окажется…

Для решения этой задачи мы можем использовать биномиальное распределение, где вероятность успеха (в данном случае, бракованной лампочки) равна \( p = 0.05 \) (5%), а вероятность неуспеха \( q = 1 - p = 0.95 \) (95%).

а) Найдем вероятность того, что только первая вкрученная лампочка окажется бракованной. Это означает, что первая лампочка бракованная, а две остальные должны быть исправными.

Вероятность того, что первая лампочка бракованная и две остальные исправные, можно найти как:

\[ P(\text{1 бракованная, 2 исправные}) = P(\text{бракованная}) \times P(\text{исправная})^2 \]

Подставим значения:

\[ P(\text{бракованная}) = 0.05 \] \[ P(\text{исправная}) = 0.95 \]

Тогда:

\[ P(\text{1 бракованная, 2 исправные}) = 0.05 \times (0.95)^2 \] \[ = 0.05 \times 0.9025 = 0.045125 \]

Таким образом, вероятность того, что только первая лампочка окажется бракованной, составляет \( 0.045125 \) (или около 4.51%).

б) Теперь найдем вероятность того, что ровно две из трех лампочек окажутся бракованными. Для этого используем биномиальную формулу:

\[ P(X = k) = C(n, k) \times p^k \times (1 - p)^{n-k} \]

где:

• \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент (количество способов выбрать \( k \) успешных исходов из \( n \)),
• \( n = 3 \) — общее количество лампочек,
• \( k = 2 \) — количество бракованных лампочек,
• \( p = 0.05 \) — вероятность бракованной лампочки,
• \( (1 - p) = 0.95 \) — вероятность исправной лампочки.

Сначала найдем биномиальный коэффициент:

\[ C(3, 2) = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(1)} = 3 \]

Теперь можем подставить все значения в формулу:

\[ P(X = 2) = C(3, 2) \times (0.05)^2 \times (0.95)^{3-2} \] \[ = 3 \times (0.05)^2 \times (0.95)^1 \] \[ = 3 \times 0.0025 \times 0.95 \] \[ = 3 \times 0.002375 = 0.007125 \]

Таким образом, вероятность того, что ровно две из трех лампочек окажутся бракованными, составляет \( 0.007125 \) (или около 0.71%).