Реши

Чтобы найти объем правильной треугольной пирамиды, используем формулу: \[ V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h, \] где \( S_{осн} \) — площадь основания, а \( h \) — высота пирамиды. 1. **Площадь основания**: Основание — равносторонний треугольник со стороной \( 8\sqrt{3} \). Площадь равностороннего треугольника находится по формуле: \[ S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2, \] где \( a = 8\sqrt{3} \). \[ S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot (8\sqrt{3})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 192 = 48\sqrt{3}. \] 2. **Высота пирамиды**: Из условия дан двугранный угол \( 60^\circ \). В правильной треугольной пирамиде высота \( h \) может быть найдена через высоту равностороннего треугольника основания и угол при основании: \[ h = l \cdot \tan(60^\circ), \] где \( l \) — высота основания (равностороннего треугольника), вычисляемая как: \[ l = \frac{\sqrt{3}}{2} a. \] Для \( a = 8\sqrt{3} \): \[ l = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 8\sqrt{3} = 12. \] Тогда высота пирамиды: \[ h = 12 \cdot \tan(60^\circ) = 12 \cdot \sqrt{3}. \] 3. **Объем пирамиды**: Подставим в формулу объема: \[ V = \frac{1}{3} \cdot 48\sqrt{3} \cdot 12\sqrt{3} = \frac{1}{3} \cdot 48 \cdot 12 \cdot 3 = 576. \] Ответ: \( 576 \).