тема: Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций. 1. Сумма цифр двузначного числа равна 12. если к заданному числу прибавить 36, то получим число, записанное…

Решим обе задачи поочередно.

1. Задача о двузначном числе

Обозначим двузначное число как \(10a + b\), где \(a\) - десятки, \(b\) - единицы (при этом \(a\) и \(b\) - это цифры числа, то есть \(a\) от 1 до 9, а \(b\) от 0 до 9).

Согласно условиям задачи:

1. Сумма цифр \(a + b = 12\).
2. Прибавление 36 к этому числу приводит к числу, у которого цифры стоят в обратном порядке. Это можно записать как: \[ 10a + b + 36 = 10b + a. \]

Упростим второе уравнение: \[ 10a + b + 36 = 10b + a. \] Переносим все члены, связанные с \(a\) и \(b\), в одну сторону: \[ 10a - a + b - 10b + 36 = 0, \] \[ 9a - 9b + 36 = 0, \] \[ 9a - 9b = -36, \] делим на 9: \[ a - b = -4 \quad (1). \]

Теперь у нас есть система уравнений:

1. \( a + b = 12 \quad (2)\)
2. \( a - b = -4 \quad (1)\)

Сложим (1) и (2): \[ (a + b) + (a - b) = 12 - 4, \] \[ 2a = 8 \implies a = 4. \]

Теперь подставим значение \(a\) в уравнение (2): \[ 4 + b = 12 \implies b = 8. \]

Таким образом, двузначное число: \[ 10a + b = 10 \cdot 4 + 8 = 48. \]

2. Задача о прямоугольном треугольнике

Обозначим катеты треугольника как \(x\) и \(y\), где \(x > y\). Согласно условиям задачи:

1. Разность катетов: \(x - y = 23\).
2. Гипотенуза: \( \sqrt{x^2 + y^2} = 37\).

Сначала воспользуемся первым уравнением: \[ x = y + 23. \]

Теперь подставим это значение во второе уравнение: \[ \sqrt{(y + 23)^2 + y^2} = 37. \] Возведем обе стороны в квадрат: \[ (y + 23)^2 + y^2 = 37^2, \] \[ (y^2 + 46y + 529) + y^2 = 1369. \] Упростим это: \[ 2y^2 + 46y + 529 = 1369, \] \[ 2y^2 + 46y - 840 = 0. \] Делим на 2: \[ y^2 + 23y - 420 = 0. \] Теперь используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 23^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-420) = 529 + 1680 = 2209. \]

Вычислим корни: \[ y = \frac{-23 \pm \sqrt{2209}}{2} = \frac{-23 \pm 47}{2}. \]

Корни будут:

1. \(y = \frac{24}{2} = 12\);
2. \(y = \frac{-70}{2} \) (не подходит, так как длины сторон положительны).

Следовательно, \(y = 12\). Теперь найдём \(x\): \[ x = y + 23 = 12 + 23 = 35. \]

Теперь найдём периметр: \[ P = x + y + 37 = 35 + 12 + 37 = 84. \]

Ответы

1. Исходное двузначное число: 48.
2. Периметр треугольника: 84 дм.