Решим обе задачи поочередно.
1. Задача о двузначном числе
Обозначим двузначное число как (10a + b), где (a) - десятки, (b) - единицы (при этом (a) и (b) - это цифры числа, то есть (a) от 1 до 9, а (b) от 0 до 9).
Согласно условиям задачи:
- Сумма цифр (a + b = 12).
- Прибавление 36 к этому числу приводит к числу, у которого цифры стоят в обратном порядке. Это можно записать как:
[
10a + b + 36 = 10b + a.
]
Упростим второе уравнение:
[
10a + b + 36 = 10b + a.
]
Переносим все члены, связанные с (a) и (b), в одну сторону:
[
10a - a + b - 10b + 36 = 0,
]
[
9a - 9b + 36 = 0,
]
[
9a - 9b = -36,
]
делим на 9:
[
a - b = -4 \quad (1).
]
Теперь у нас есть система уравнений:
- ( a + b = 12 \quad (2))
- ( a - b = -4 \quad (1))
Сложим (1) и (2):
[
(a + b) + (a - b) = 12 - 4,
]
[
2a = 8 \implies a = 4.
]
Теперь подставим значение (a) в уравнение (2):
[
4 + b = 12 \implies b = 8.
]
Таким образом, двузначное число:
[
10a + b = 10 \cdot 4 + 8 = 48.
]
2. Задача о прямоугольном треугольнике
Обозначим катеты треугольника как (x) и (y), где (x > y). Согласно условиям задачи:
- Разность катетов: (x - y = 23).
- Гипотенуза: ( \sqrt{x^2 + y^2} = 37).
Сначала воспользуемся первым уравнением:
[
x = y + 23.
]
Теперь подставим это значение во второе уравнение:
[
\sqrt{(y + 23)^2 + y^2} = 37.
]
Возведем обе стороны в квадрат:
[
(y + 23)^2 + y^2 = 37^2,
]
[
(y^2 + 46y + 529) + y^2 = 1369.
]
Упростим это:
[
2y^2 + 46y + 529 = 1369,
]
[
2y^2 + 46y - 840 = 0.
]
Делим на 2:
[
y^2 + 23y - 420 = 0.
]
Теперь используем дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = 23^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-420) = 529 + 1680 = 2209.
]
Вычислим корни:
[
y = \frac{-23 \pm \sqrt{2209}}{2} = \frac{-23 \pm 47}{2}.
]
Корни будут:
- (y = \frac{24}{2} = 12);
- (y = \frac{-70}{2} ) (не подходит, так как длины сторон положительны).
Следовательно, (y = 12). Теперь найдём (x):
[
x = y + 23 = 12 + 23 = 35.
]
Теперь найдём периметр:
[
P = x + y + 37 = 35 + 12 + 37 = 84.
]
Ответы
- Исходное двузначное число: 48.
- Периметр треугольника: 84 дм.
