Для первого уравнения:
[ x^4 + 14x^2 + 33 = 0 ]
Подставим ( y = x^2 ), тогда уравнение станет:
[ y^2 + 14y + 33 = 0 ]
Решаем квадратное уравнение по формуле:
[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]
где ( a = 1 ), ( b = 14 ), ( c = 33 ).
[ y = \frac{-14 \pm \sqrt{14^2 - 4 \cdot 1 \cdot 33}}{2 \cdot 1} ]
[ y = \frac{-14 \pm \sqrt{196 - 132}}{2} ]
[ y = \frac{-14 \pm \sqrt{64}}{2} ]
[ y = \frac{-14 \pm 8}{2} ]
Тогда ( y_1 = \frac{-14 + 8}{2} = -3 ),
а ( y_2 = \frac{-14 - 8}{2} = -11 ).
Так как полученные значения ( y ) отрицательные, вещественных решений для ( x ) нет.
Для второго уравнения:
[ x^4 + 7x^2 - 8 = 0 ]
Подставим ( y = x^2 ), тогда уравнение станет:
[ y^2 + 7y - 8 = 0 ]
Решаем квадратное уравнение:
[ y = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1} ]
[ y = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2} ]
[ y = \frac{-7 \pm \sqrt{81}}{2} ]
[ y = \frac{-7 \pm 9}{2} ]
Тогда ( y_1 = \frac{-7 + 9}{2} = 1 ),
а ( y_2 = \frac{-7 - 9}{2} = -8 ).
Для ( y_1 = 1 ), находим ( x ):
[ x^2 = 1 ]
[ x = \pm 1 ]
Для ( y_2 = -8 ) вещественных решений для ( x ) нет.
Таким образом, вещественные корни второго уравнения: ( x = 1 ) и ( x = -1 ).
