Для оценки максимальной и относительной погрешности измерений, а также для формирования доверительных интервалов необходимо выполнить следующие шаги:
Шаг 1: Рассчитайте среднее значение (X̄) измерений
Сначала найдем среднее значение резистора:
( X̄ = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i )
где (n) — количество измерений, а (x_i) — значения измерений.
Суммируем значения:
[ 829,5 + 829,7 + 829,4 + 829,8 + 829,1 + 829,4 + 829,7 + 829,4 + 829,8 + 829,9 = 8297,7 ]
Теперь вычисляем среднее:
[ X̄ = \frac{8297,7}{10} = 829,77 , \text{Ом} ]
Шаг 2: Рассчитайте стандартное отклонение (σ)
Стандартное отклонение для выборки вычисляется по формуле:
[ s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - X̄)^2} ]
Сначала рассчитаем отклонения и их квадраты:
[
\begin{align*}
(829,5 - 829,77)^2 & = (−0,27)^2 = 0,0729 \
(829,7 - 829,77)^2 & = (0,03)^2 = 0,0009 \
(829,4 - 829,77)^2 & = (−0,37)^2 = 0,1369 \
(829,8 - 829,77)^2 & = (0,03)^2 = 0,0009 \
(829,1 - 829,77)^2 & = (−0,67)^2 = 0,4489 \
(829,4 - 829,77)^2 & = (−0,37)^2 = 0,1369 \
(829,7 - 829,77)^2 & = (0,03)^2 = 0,0009 \
(829,4 - 829,77)^2 & = (−0,37)^2 = 0,1369 \
(829,8 - 829,77)^2 & = (0,03)^2 = 0,0009 \
(829,9 - 829,77)^2 & = (0,13)^2 = 0,0169 \
\end{align*}
]
Теперь находим сумму:
[ 0,0729 + 0,0009 + 0,1369 + 0,0009 + 0,4489 + 0,1369 + 0,0009 + 0,1369 + 0,0009 + 0,0169 = 0,8145 ]
Теперь рассчитываем стандартное отклонение:
[ s = \sqrt{\frac{0,8145}{10-1}} = \sqrt{0,0905} \approx 0,3008 ]
Шаг 3: Рассчитайте максимальную и относительную погрешности
Максимальная погрешность ((ΔX)) — это (t)-критерий (для доверительной вероятности 0.95 и 0.99) умноженный на стандартное отклонение и деленный на корень из количества измерений:
Для ( \alpha = 0.05 ) (доверительная вероятность 0.95, ( t_{0.025} ) для 9 степеней свободы ≈ 2.262):
[
ΔX_{0.95} = t_{0.025} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} = 2.262 \cdot \frac{0.3008}{\sqrt{10}} \approx 0,2141 , \text{Ом}
]
Для ( \alpha = 0.01 ) (доверительная вероятность 0.99, ( t_{0.005} ) для 9 степеней свободы ≈ 3.250):
[
ΔX_{0.99} = t_{0.005} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} = 3.250 \cdot \frac{0.3008}{\sqrt{10}} \approx 0,3027 , \text{Ом}
]
Теперь можем рассчитать относительные погрешности:
[
\text{Относительная погрешность} = \frac{ΔX}{X̄} \cdot 100%
]
Для доверительной вероятности 0.95:
[
\text{Относительная погрешность}_{0.95} = \frac{0,2141}{829,77} \cdot 100% \approx 0,0258%
]
Для доверительной вероятности 0.99:
[
\text{Относительная погрешность}_{0.99} = \frac{0,3027}{829,77} \cdot 100% \approx 0,0365%
]
Шаг 4: Запишите результат эксперимента в виде доверительного интервала
Теперь можем записать доверительные интервалы:
Для доверительной вероятности 0.95:
[
X̄ - ΔX_{0.95} < X < X̄ + ΔX_{0.95} \Rightarrow 829,77 - 0,2141 < X < 829,77 + 0,2141
]
Получаем:
[
(829,56; 829,98) , \text{Ом}
]
Для доверительной вероятности 0.99:
[
X̄ - ΔX_{0.99} < X < X̄ + ΔX_{0.99} \Rightarrow 829,77 - 0,3027 < X < 829,77 + 0,3027
]
Получаем:
[
(829,47; 830,07) , \text{Ом}
]
Результат:
- Максимальная погрешность при 0.95: 0,2141 Ом
- Максимальная погрешность при 0.99: 0,3027 Ом
- Относительная погрешность при 0.95: 0,0258%
- Относительная погрешность при 0.99: 0,0365%
- Доверительный интервал для 0.95: (829,56; 829,98) Ом
- Доверительный интервал для 0.99: (829,47; 830,07) Ом
