При измерении активного сопротивления резистора было произведено десять равноточных измерений 829,5 ом 829,7 ом 829,4 ом 829,8 ом , 829,1 ом 829,4 ом 829,7 ом 829,4 ом 829,8 ом…
При измерении активного сопротивления резистора было произведено десять равноточных измерений 829,5 ом 829,7 ом 829,4 ом 829,8 ом , 829,1 ом 829,4 ом 829,7 ом 829,4 ом 829,8 ом 829,9 омОцените максимальную и относительную погрешности измерений и запишите результат эксперимента в виде доверительного интервала для двух значений доверительной вероятности = 0,95 и = 0,99.
Для оценки максимальной и относительной погрешности измерений, а также для формирования доверительных интервалов необходимо выполнить следующие шаги:
Шаг 1: Рассчитайте среднее значение (X̄) измерений
Сначала найдем среднее значение резистора:
\( X̄ = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \)
где \(n\) — количество измерений, а \(x_i\) — значения измерений.
Суммируем значения:
\[ 829,5 + 829,7 + 829,4 + 829,8 + 829,1 + 829,4 + 829,7 + 829,4 + 829,8 + 829,9 = 8297,7 \]
Теперь вычисляем среднее:
\[ X̄ = \frac{8297,7}{10} = 829,77 \, \text{Ом} \]
Шаг 2: Рассчитайте стандартное отклонение (σ)
Стандартное отклонение для выборки вычисляется по формуле:
\[ s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - X̄)^2} \]
Сначала рассчитаем отклонения и их квадраты:
\[ \begin{align*} (829,5 - 829,77)^2 & = (−0,27)^2 = 0,0729 \\ (829,7 - 829,77)^2 & = (0,03)^2 = 0,0009 \\ (829,4 - 829,77)^2 & = (−0,37)^2 = 0,1369 \\ (829,8 - 829,77)^2 & = (0,03)^2 = 0,0009 \\ (829,1 - 829,77)^2 & = (−0,67)^2 = 0,4489 \\ (829,4 - 829,77)^2 & = (−0,37)^2 = 0,1369 \\ (829,7 - 829,77)^2 & = (0,03)^2 = 0,0009 \\ (829,4 - 829,77)^2 & = (−0,37)^2 = 0,1369 \\ (829,8 - 829,77)^2 & = (0,03)^2 = 0,0009 \\ (829,9 - 829,77)^2 & = (0,13)^2 = 0,0169 \\ \end{align*} \]
Теперь находим сумму:
\[ 0,0729 + 0,0009 + 0,1369 + 0,0009 + 0,4489 + 0,1369 + 0,0009 + 0,1369 + 0,0009 + 0,0169 = 0,8145 \]
Теперь рассчитываем стандартное отклонение:
\[ s = \sqrt{\frac{0,8145}{10-1}} = \sqrt{0,0905} \approx 0,3008 \]
Шаг 3: Рассчитайте максимальную и относительную погрешности
Максимальная погрешность (\(ΔX\)) — это \(t\)-критерий (для доверительной вероятности 0.95 и 0.99) умноженный на стандартное отклонение и деленный на корень из количества измерений:
Для \( \alpha = 0.05 \) (доверительная вероятность 0.95, \( t_{0.025} \) для 9 степеней свободы ≈ 2.262): \[ ΔX_{0.95} = t_{0.025} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} = 2.262 \cdot \frac{0.3008}{\sqrt{10}} \approx 0,2141 \, \text{Ом} \]
Для \( \alpha = 0.01 \) (доверительная вероятность 0.99, \( t_{0.005} \) для 9 степеней свободы ≈ 3.250): \[ ΔX_{0.99} = t_{0.005} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} = 3.250 \cdot \frac{0.3008}{\sqrt{10}} \approx 0,3027 \, \text{Ом} \]
Теперь можем рассчитать относительные погрешности:
\[ \text{Относительная погрешность} = \frac{ΔX}{X̄} \cdot 100\% \]
Для доверительной вероятности 0.95: \[ \text{Относительная погрешность}_{0.95} = \frac{0,2141}{829,77} \cdot 100\% \approx 0,0258\% \]
Для доверительной вероятности 0.99: \[ \text{Относительная погрешность}_{0.99} = \frac{0,3027}{829,77} \cdot 100\% \approx 0,0365\% \]
Шаг 4: Запишите результат эксперимента в виде доверительного интервала
Теперь можем записать доверительные интервалы:
Для доверительной вероятности 0.95: \[ X̄ - ΔX_{0.95} < X < X̄ + ΔX_{0.95} \Rightarrow 829,77 - 0,2141 < X < 829,77 + 0,2141 \]
Получаем:
\[ (829,56; 829,98) \, \text{Ом} \]
Для доверительной вероятности 0.99: \[ X̄ - ΔX_{0.99} < X < X̄ + ΔX_{0.99} \Rightarrow 829,77 - 0,3027 < X < 829,77 + 0,3027 \]
Получаем:
\[ (829,47; 830,07) \, \text{Ом} \]
Результат:
- Максимальная погрешность при 0.95: 0,2141 Ом
- Максимальная погрешность при 0.99: 0,3027 Ом
- Относительная погрешность при 0.95: 0,0258%
- Относительная погрешность при 0.99: 0,0365%
- Доверительный интервал для 0.95: (829,56; 829,98) Ом
- Доверительный интервал для 0.99: (829,47; 830,07) Ом
