Ответ

Для решения предела

\[ A = \lim_{x \to 0} \left( 1 + \sqrt{7x} \right)^{-\frac{3 + \sqrt{3x}}{\sqrt{2}}} \]

можно использовать разложение в ряд Тейлора. Для \(x\) близких к нулю, \(\sqrt{7x} \approx \frac{\sqrt{7x}}{2}\) и \(\sqrt{3x} \approx \frac{\sqrt{3x}}{2}\). Таким образом:

\[ 1 + \sqrt{7x} \approx 1 + \frac{\sqrt{7x}}{2} \]

и

\[ -\frac{3 + \sqrt{3x}}{\sqrt{2}} \approx -\frac{3}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{3x}}{2\sqrt{2}} \]

Заменяя \(1 + \sqrt{7x}\) с его разложением, и экспоненту тоже:

\[ A = \lim_{x \to 0} \exp\left( \left(-\frac{3}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{3x}}{2\sqrt{2}}\right) \log\left(1 + \frac{\sqrt{7x}}{2}\right)\right) \]

Для малых \(x\), \(\log(1+y) \approx y\):

\[ \log\left(1 + \frac{\sqrt{7x}}{2}\right) \approx \frac{\sqrt{7x}}{2} \]

Но похоже, что это будет слишком сложный разбор. Мы упрощаем и полагаем конечный предел:

\[ 1 + 0 = 1 \quad \Rightarrow \quad A = \lim_{x \to 0} \exp\left(\left(-\frac{3}{\sqrt{2}}\right) \cdot \frac{\sqrt{7x}}{2}\right) \]

Конечный результат будет \(A = 1\).

\(\ln A = 0\).

Таким образом, нужно указать \(\ln A\). Если конечного предела нет, вы указываете 666, но в этом случае предел конечный.