Для решения предела
[
A = \lim_{x \to 0} \left( 1 + \sqrt{7x} \right)^{-\frac{3 + \sqrt{3x}}{\sqrt{2}}}
]
можно использовать разложение в ряд Тейлора. Для (x) близких к нулю, (\sqrt{7x} \approx \frac{\sqrt{7x}}{2}) и (\sqrt{3x} \approx \frac{\sqrt{3x}}{2}). Таким образом:
[
1 + \sqrt{7x} \approx 1 + \frac{\sqrt{7x}}{2}
]
и
[
-\frac{3 + \sqrt{3x}}{\sqrt{2}} \approx -\frac{3}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{3x}}{2\sqrt{2}}
]
Заменяя (1 + \sqrt{7x}) с его разложением, и экспоненту тоже:
[ A = \lim_{x \to 0} \exp\left( \left(-\frac{3}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{3x}}{2\sqrt{2}}\right) \log\left(1 + \frac{\sqrt{7x}}{2}\right)\right) ]
Для малых (x), (\log(1+y) \approx y):
[ \log\left(1 + \frac{\sqrt{7x}}{2}\right) \approx \frac{\sqrt{7x}}{2} ]
Но похоже, что это будет слишком сложный разбор. Мы упрощаем и полагаем конечный предел:
[
1 + 0 = 1 \quad \Rightarrow \quad A = \lim_{x \to 0} \exp\left(\left(-\frac{3}{\sqrt{2}}\right) \cdot \frac{\sqrt{7x}}{2}\right)
]
Конечный результат будет (A = 1).
(\ln A = 0).
Таким образом, нужно указать (\ln A). Если конечного предела нет, вы указываете 666, но в этом случае предел конечный.
