Для решения задачи используем теорему полной вероятности и формулу Байеса.
Обозначим:
- ( A ) — событие, что батарейка неисправна.
- ( B ) — событие, что система забраковала батарейку.
- ( \overline{A} ) — событие, что батарейка исправна.
Нам даны:
- ( P(A) = 0.02 ) — вероятность того, что батарейка неисправна.
- ( P(B | A) = 0.98 ) — вероятность того, что система забракует неисправную батарейку.
- ( P(B | \overline{A}) = 0.01 ) — вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку.
Мы ищем ( P(A | B) ) — вероятность того, что батарейка неисправна, если она забракована.
Сначала найдем полную вероятность того, что батарейка забракована, ( P(B) ):
[
P(B) = P(B | A)P(A) + P(B | \overline{A})P(\overline{A}) = 0.98 \cdot 0.02 + 0.01 \cdot 0.98
]
[
P(B) = 0.0196 + 0.0098 = 0.0294
]
Теперь применим формулу Байеса для нахождения ( P(A | B) ):
[
P(A | B) = \frac{P(B | A)P(A)}{P(B)} = \frac{0.98 \cdot 0.02}{0.0294}
]
[
P(A | B) = \frac{0.0196}{0.0294} \approx 0.6667
]
Таким образом, вероятность того, что забракованная батарейка действительно неисправна, равна примерно 0.6667.
