В треугольнике ABC, где угол ( A + B = 90^\circ ), угол ( C ) будет равен ( 90^\circ ). Это значит, что треугольник прямоугольный, и мы можем воспользоваться тригонометрическими свойствами.
Сначала преобразуем значение ( \sin B ):
[
\sin B = \frac{3\sqrt{3}}{10\sqrt{10}}.
]
Теперь используем основное тригонометрическое соотношение:
[
\sin^2 B + \cos^2 B = 1.
]
Подставим известное значение ( \sin B ):
[
\sin^2 B = \left( \frac{3\sqrt{3}}{10\sqrt{10}} \right)^2 = \frac{27}{100 \cdot 10} = \frac{27}{1000}.
]
Теперь можем найти ( \cos^2 B ):
[
\cos^2 B = 1 - \sin^2 B = 1 - \frac{27}{1000} = \frac{1000 - 27}{1000} = \frac{973}{1000}.
]
Итак, окончательный ответ:
[
\cos^2 B = \frac{973}{1000}.
]
